Si los rendimientos de mi estrategia se distribuyen como [,], ¿cuál es la fracción óptima de capital a invertir en cada operación individual, como función y ? ¡Ayuda!
PS. Sé que los rendimientos normalmente distribuidos son una abstracción. Pero me gustaría entender el concepto en un mundo ideal, antes de explorar las implicaciones de las colas gordas en la fórmula...
Este problema puede expresarse como el original El problema de la cartera de Merton .
Considere el proceso de riqueza definido por SDE
$$ d X _ { t } = \frac { X _ { t } \alpha _ { t } } { S _ { t } } d S _ { t } + \frac { X _ { t } \left( 1 - \alpha _ { t } \right) } { S _ { t } ^ { 0 } } d S _ { t } ^ { 0 } $$
donde $\alpha_t$ es la proporción de la inversión en el activo de riesgo $S_t$ y $S_t^0$ es el activo sin riesgo.
El criterio de optimización puede depender de la aversión al riesgo del inversor, y el problema consiste en maximizar la utilidad esperada del inversor para una función de utilidad adecuada $U$ :
$$ E \left[ U \left( X _ { T } \right) \right] \rightarrow \max $$
La elección clásica de la función de utilidad es CRRA:
$$ u ( x ) = \frac { x ^ { 1 - \gamma } } { 1 - \gamma } $$
donde $\gamma$ es constante y corresponde a la aversión al riesgo del inversor.
Si el activo $S_t$ sigue la dinámica de Black-Scholes (de acuerdo con su suposición de rendimientos log-normales)
$$ \begin{aligned} d S _ { t } ^ { 0 } & = r S _ { t } ^ { 0 } d t \\ d S _ { t } & = \mu S _ { t } d t + \sigma S _ { t } d W _ { t } \end{aligned} $$
Cabe destacar que existe una solución de forma cerrada que consiste en invertir una proporción constante de la riqueza en el activo de riesgo
$$ \alpha_t = \frac { \mu - r } { \gamma \sigma ^ { 2 } } $$
Obsérvese que la solución puede interpretarse como el equilibrio entre la media y la varianza.
¡@nakajuice gracias por la respuesta! Sin embargo, no puedo explicar este caso. Si suponemos =1 (caso kelly), r=0, =0,01€ y =0,05€ obtenemos =4. ¿Cómo puede ser >1?
ok lo encontré y esto funciona para cualquier distribución, no solo la normal
$f^*=\frac {^2 + ^2} \approx \frac {^2} \space if \ll$
aquí los pasos: https://www.dropbox.com/s/4nqd5yfk2xcuag5/kelly.pdf
Esta respuesta se acerca, pero no es idéntica, a la otra conocida. Sería interesante entender el porqué de la diferencia.
¿Por qué no hacen $$ E(\prod_i (1 + f r_i)) = \prod_i E(1 + f r_i) = (1 + f \mu)^t$$ desde el $$r_i$$ ¿son IID? Probablemente estoy haciendo algo tonto aquí.
@mathtick Yo también estoy tratando de averiguar eso. Puede ser que: $\frac d {df} E\left[\prod_{i=1}^t(1+f\space r_i)\right] \ne \frac d {df}(1+f\space )^t$ es decir, para alguna propiedad del $E[ ... ]$ primero hay que diferenciar y luego aplicar el $E[ ... ]$ ¿operador?
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¿Supone que cierra cada operación al principio del siguiente periodo de inversión?
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Sí, hago 1 operación por período. Nunca hay 2 operaciones abiertas al mismo tiempo.
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¿Has leído los documentos de Thorp, por ejemplo, eecs.harvard.edu/cs286r/courses/fall12/papers/ ¿para una derivación? Otra se puede hacer mediante el lema de Itô, creo.
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@LoveTooNap29 ¡gracias por la sugerencia!