Numeraire correlacionada con el comercio de activos

Question

Edit: ¿hay algún trabajo publicado en Numeraire ser correlacionada a uno de los activos negociados? No he encontrado un solo documento en línea sobre este tema. Si alguien tiene enlaces a recursos sobre este tema, por favor podría compartir?

El Teorema Fundamental de la valuación de Activos de los estados que:

\begin{align*} \frac{X_0}{N_0} &= \mathbb{E}^N{ \left[ \frac{X(t)}{N(t)}|\mathcal{F}_0 \derecho] } \end{align*}

Las condiciones habituales de aplicar (ambos $ N(t) $ y $ X(t) $ se negocian los activos, los mercados son completos, etc.)

Pregunta: ¿la ecuación anterior todavía se mantienen si $N(t)$ es correlacionada con $X(t)$ ?

Matemáticamente, uno podría suponer que (en el mundo real de la medida):

$$X(t)=X(0)+\int^{t}_{0}\mu_1 X(h)dh+\int^{t}_{0}\sigma_{1,1} k_{1,1} X(h)dW_1(h)+\int^{t}_{0}\sigma_{1,2} k_{1,2} X(h)dW_2(h)$$

$$N(t)=N(0)+\int^{t}_{0}\mu_2 N(h)dh+\int^{t}_{0}\sigma_{2,1} k_{2,1} N(h)dW_1(h)+\int^{t}_{0}\sigma_{2,2} k_{2,2} N(h)dW_2(h)$$

En otras palabras, hay dos Browniano de los movimientos que son las fuentes de riesgo. Activo $X(t)$ ha lineal de cargas ($K_{1,1}$) a $W_1$ e ($K_{1,2}$) a $W_2$, mientras que el Numeraire ha lineal de cargas ($K_{2,1}$) a $W_1$ e ($K_{2,2}$) a $W_2$, lo que hace $N(t)$ y $X(t)$ correlacionados.

Si quieres responder a la pregunta en general, sin tomar el específico proceso de ecuaciones para $X(t)$ y $N(t)$ en la cuenta, que también está bien.

Muchas gracias, le agradezco mucho cualquier aporte sobre esto.

Answer 1

Como @ilovevolatility explica, la seminal de referencia de este asunto es el Geman, El Karoui & Rochet (1995). Suponemos que ninguno de los activos de los dividendos a pagar, y que son estrictamente positivos. Hay dos posibles opciones.

• Usted está considerando un mercado con sólo activos $X$ y $N$. A continuación, la Hipótesis 1 de su artículo se aplicará, el cual está relacionado con los dos Teoremas Fundamentales de la fijación de Precios de bienes: "existe una probabilidad de medida $\mathcal{N}$ asociadas a la numéraire $N$ tales que el activo $X$ es una martingala en la medida de $\mathcal{N}$".
  Esta es una hipótesis en el modelo. El Primer Teorema Fundamental implica que esta hipótesis es equivalente a suponer que su mercado es el arbitraje libre. Si $\mathcal{N}$ es única, por el Segundo Teorema Fundamental del mercado es también completa. Por lo tanto la correlación no importa, porque se está suponiendo que el proceso es martingala (por supuesto, su dinámica necesita ser especificada de tal manera que esta realidad tiene!).

• Usted está considerando un mercado con activos de $X$, $N$ y $M$, donde $M$ es, por ejemplo, el riesgo de mercado de dinero de la cuenta. Su hipótesis es que $X/M$ y $N/M$ son martingales bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathcal{P}$ inducida por $M$. Entonces el Teorema 1 en Geman, El Karoui & Rochet (1995) afirma que no existe una medida de probabilidad $\mathcal{N}$ inducida por $N$ virtud de los cuales $X/N$ y $M/N$ son martingales. Este debe contener independientemente de si $X$ y $N$ se correlacionan $-$ su papel contiene una buena prueba de que es independiente de la dinámica de estos procesos.

Para un ejemplo práctico del segundo caso, en un típico Movimiento Browniano de establecimiento, se requieren teorema de Girsanov (véase, por ejemplo, estas notas). Supongamos la siguiente dinámica debajo de $\mathcal{P}$, con $M_0$ igual a $1$: $$\begin{align} dX(t) & = r X(t)dt+\sigma X(t)dW^\mathcal{P}(t) \\ dN(t) & = rN(t)dt + \varsigma N(t)dB^\mathcal{P}(t) \end{align}$$ donde $dW^\mathcal{P}(t)dB^\mathcal{P}(t)=\rho dt$ y con el mercado de dinero de la cuenta de la evolución como: $$dM(t) = rM(t)dt.$$ El cambio de la medida de $\mathcal{P}$ de $\mathcal{N}$ es dado por la siguiente Radon-Nikodym derivados (véase de nuevo el Teorema 1 en el documento): $$\frac{d\mathcal{P}}{d\mathcal{N}}=\frac{M(t)N_0}{M_0N(t)}=e^{\frac{1}{2}\varsigma^2 t-\varsigma B^\mathcal{P}(t)}$$ De acuerdo con el teorema de Girsanov, entonces podemos definir una nueva medida que se nos nombre $\mathcal{N}$ tal que el Movimiento Browniano no es dada por: $$\begin{align} B^\mathcal{N}(t)&:=B^\mathcal{P}(t)-\varsigma t \end{align}$$ El uso de la descomposición de Cholesky de dos correlaciona Browniano Movimientos para representar a $W$, obtenemos que en virtud de la nueva medida: $$W^\mathcal{N}(t)=\rho B^\mathcal{N}(t)+\sqrt{1-\rho^2}Z^\mathcal{N}(t)=W^\mathcal{P}(t)-\rho\varsigma t$$ donde $Z$ es un tercer Movimiento Browniano independiente de $B$. Por lo tanto la dinámica bajo la nueva medida son: $$\begin{align} dX(t) &= (r+\rho\sigma\varsigma)X(t)dt+\sigma X(t)dW^\mathcal{N}(t) \\ dN(t) &= (r+\varsigma^2)N(t)dt+\varsigma N(t)dB^\mathcal{N}(t) \end{align}$$ Que es: $$\begin{align} X(t) &= X_0e^{(r+\rho\sigma\varsigma-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W^\mathcal{N}(t)} \\ N(t) &= N_0e^{(r+\frac{1}{2}\varsigma^2)t+\varsigma B^\mathcal{N}(t)} \end{align}$$ Por lo tanto el activo $X(t)$ dividido por la nueva numéraire $N(t)$ es igual a: $$\frac{X(t)}{N(t)}=\frac{X_0}{N_0}e^{(\rho\sigma\varsigma-\frac{1}{2}(\sigma^2+\varsigma^2))t+\sigma W^\mathcal{N}(t)-\varsigma B^\mathcal{N}(t)}$$ Utilizando de nuevo el Cholesky representación de los $W$: $$\frac{X(t)}{N(t)}=\frac{X_0}{N_0}e^{(\rho\sigma\varsigma-\frac{1}{2}(\sigma^2+\varsigma^2))t+(\sigma\rho-\varsigma)B^\mathcal{N}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2} Z^\mathcal{N}(t)}$$ La variable aleatoria $(\rho\sigma\varsigma)B^\mathcal{N}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2} Z^\mathcal{N}(t)$ es normalmente distribuida con cero expectativa y la varianza: $$(\rho\sigma\varsigma)^2+\sigma^2(1-\rho^2)t=\varsigma^2t-2\rho\sigma\varsigma t+\sigma^2$$ Por lo tanto por las propiedades de la log-normal de las variables: $$\mathbb{E}^\mathcal{N}\left(e^{(\sigma\rho\varsigma)B^\mathcal{N}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2} Z^\mathcal{N}(t)}\right)=e^{\frac{1}{2}(\sigma^2+\varsigma^2)t-\rho\sigma\varsigma t}$$ Términos de cancelación y nos quedaría: $$\mathbb{E}^\mathcal{N}\left(\frac{X(t)}{N(t)}\right)=\frac{X_0}{N_0}$$ Por lo tanto el proceso es una martingala bajo la nueva medida $\mathcal{N}$.

En mi cambio-de-medida de Ecuaciones, se observa que el "cambio" se aplica a la segunda el Movimiento Browniano tiene en cuenta la correlación, es decir, $W^\mathcal{N}(t)=W^\mathcal{P}(t)-\color{blue}{\rho}\varsigma t$. Este término, a continuación, se inyecta en la deriva de $X$ en virtud de la nueva medida: $dX(t)=(\dots+\color{blue}{\rho}\sigma\varsigma)dt+\dots$, que se cancela en el cómputo de la expectativa de la log-normal de la variable.

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_{Un punto de vista técnico sobre el cambio de la medida en virtud de un Browniano configuración, la integridad de los efectos (medida superíndices saltado a menos que sea necesario). Propiamente hablando, de nuestro modelo es en realidad impulsado por una de 2 dimensiones el Movimiento Browniano: $$\textbf{W}(t)= \begin{bmatrix} B(t) \\ Z(t) \end{bmatrix}$$ donde $B$ y $Z$ son independientes. Luego tenemos tanto una volatilidad de la matriz $\Sigma$ y un Cholesky de la matriz $\textbf{C}$ (que es la descomposición de la matriz de correlación entre la Browniano Movimiento), lo que nos da una matriz de pesos $\Phi$ para los dos Browniano Mociones: $$\Sigma := \begin{bmatrix} \varsigma & 0 \\ 0 & \sigma \end{bmatrix}, \qquad \textbf{C} := \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \end{bmatrix}, \qquad \Phi:=\Sigma\cdot\textbf{C}=\begin{bmatrix} \varsigma & 0 \\ \sigma\rho & \sigma\sqrt{1-\rho^2} \end{bmatrix}$$ Tenga en cuenta que $\Phi\cdot\Phi^T$ nos da instantáneos de la matriz de covarianza. La difusión de parte de $N$ y $X$ es representado por el siguiente vector: $$\Phi\cdot d\textbf{W}(t)=\begin{bmatrix} \varsigma dB(t) \\\sigma (\rho dB(t)+\sqrt{1-\rho^2}dZ(t)) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \varsigma dB(t) \\ \sigma dW(t) \end{bmatrix}$$ donde $W$ es el original el Movimiento Browniano de $X$ introducido en el cuerpo del texto. Cuando hacemos un cambio de medidas, en realidad estamos aplicando de 2 dimensiones teorema de Girsanov y "cambio" en todo el vector $\textbf{W}$. Sin embargo, como se puede ver en el Radon-Nikodym derivado de la Ecuación, es sólo la Browniano $B$ que se desplaza por $\varsigma t$, mientras que la Browniano $Z$ es desplazado por $0$. De hecho, podemos escribir: $$\frac{d\mathcal{P}}{d\mathcal{N}} =e^{\frac{1}{2}\varsigma^2 t-\varsigma B^\mathcal{P}(t)} =e^{\frac{t}{2}(\Theta^T\cdot\Theta)-\Theta^T\cdot\textbf{W}(t)}$$ donde $\Theta$ es el vector que especifica el cambio de la medida de $\mathcal{P}$ de $\mathcal{N}$: $$\Theta := \begin{bmatrix} \varsigma \\ 0 \end{bmatrix}$$ Por lo que el Movimiento Browniano en virtud de la nueva medida se convierte en: $$\textbf{W}^\mathcal{N}(t) =\textbf{W}^\mathcal{P}(t)-\Theta\times t =\begin{bmatrix} B(t)-\varsigma t \\ Z(t) \end{bmatrix}$$}