Contrato y la curva de Pareto de la frontera

Question

Considere la posibilidad de una economía de intercambio con dos agentes. Cada agente de $i \in \{1,2\}$ se deriva de la utilidad de $u^i(x_1,x_2) \in \mathbb R$ consumo $(x_1,x_2) \in \mathbb R_+^2$. Vamos a $u_j^i(x_1,x_2) = \partial u^i(x_1,x_2) / \partial x_j$ para $(i,j) \in \{1,2\}^2$. El conjunto eficiente de conjuntos de bienes de consumo está dada por \begin{align} C = \left\{(x_1,x_2) \in \mathbb R_+^2 ~ \bigg| ~ \frac{u_1^1(x_1,x_2)}{u_2^1(x_1,x_2)} = \frac{u_1^2(x_1,x_2)}{u_2^2(x_1,x_2)}\right\} \end{align} Supongamos que la función $x_2^c :\mathbb R_+ \to \mathbb R_+$ resuelve \begin{align} \frac{u_1^1(x_1,x_2^c(x_1))}{u_2^1(x_1,x_2^c(x_1))} = \frac{u_1^2(x_1,x_2^c(x_1))}{u_2^2(x_1,x_2^c(x_1))} \end{align} El contrato de la curva es la gráfica de $\mathcal G(x_2^c) = \{(x_1,x_2^c(x_1)) \mediados de x_1 \in \mathbb R_+\}$. Deje que $\overline u^i(x_1) = u^i(x_1,x_2^c(x_1))$. El Pareto de la frontera es ahora dado por la siguiente utilidad de las asignaciones \begin{align} P = \{(\overline u^1(x_1), \overline u^2(x_1)) \mediados de x_1 \in \mathbb R_+\} \subconjunto \mathbb R^2. \end{align}

Supongamos que el Parento de la frontera está inclinado hacia abajo w.r.t. $x_1$ tales que \begin{align} \frac{\overline u_1^2(x_1)}{\overline u_1^1(x_1)} < 0. \end{align}

Q: ¿Qué condiciones deben cumplirse tales que el de la frontera de Pareto es cóncava?

Estoy especialmente preguntando si la siguiente condición es suficiente: \begin{align} \frac{\overline u_{11}^2(x_1)}{\overline u_{11}^1(x_1)} < 0. \end{align}

Answer 1

Supongamos que todas estas funciones existen y son diferenciables. Además nos deja denotar la inversa de la función $\overline u^1(x_1)$ por $x_1\left(\overline u^1\right)$.

Tenga en cuenta que para cualquier invertible función $f$ tenemos $$ \left.\frac{\text{d} f(x)}{\text{d} x}\derecho|_{x=x_0} = \frac{1}{\left.\frac{\text{d} f^{-1}(y)}{\text{d} y}\derecho|_{y=f(x_0)}}. $$ En nuestro caso esto significa que (con un poco simplificada de la notación) $$ \frac{\text{d} x_1(\overline u^1)}{\text{d} \overline u^1} = \frac{1}{\frac{\text{d} \overline u^1(x_1)}{\text{d} x_1}}. $$ Vamos a simplificar la notación por escrito $$ \overline u{^i}' = \frac{\text{d} \overline u^i(x_1)}{\text{d} x_1}. $$ Vamos a denotar segundo derivados del mismo modo, al colocar $"$.

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La pregunta es ¿bajo qué condiciones $$ \overline u^2\left(x_1,\left(\overline u^1\right)\derecho) $$ es cóncava en $\overline u^1$. Esto, por supuesto, depende del signo de $$ \frac{\text{d}^2 \overline u^2\left(x_1,\left(\overline u^1\right)\derecho)}{\text{d} \overline {u}{^1}^2}. $$ La diferenciación de \begin{align*} \frac{\text{d} \overline u^2\left(x_1,\left(\overline u^1\right)\derecho)}{\text{d} \overline {u}^1} & = \frac{\text{d} x_1(\overline u^1)}{\text{d} \overline u^1} \frac{\text{d} \overline u^2(x_1)}{\text{d} x_1} = \frac{1}{\overline u{^1}' }\overline u{^2}' = \frac{\overline u{^2}'}{\overline u{^1}' }. \end{align*} Yendo un paso más allá \begin{align*} \frac{\text{d}^2 \overline u^2\left(x_1,\left(\overline u^1\right)\derecho)}{\text{d} \overline {u}{^1}^2} & = \frac{ \frac{1}{\overline u{^1}' }\overline u{^2}^{"} \overline u{^1}' - \overline u{^2}'\frac{1}{\overline u{^1}' }\overline u{^1}^{"} } {\left(\overline u{^1}'\derecho)^2}. \end{align*} Esto implica que la Pareto-frontera es cóncava cuando \begin{align*} \frac{\text{d}^2 \overline u^2\left(x_1,\left(\overline u^1\right)\derecho)}{\text{d} \overline {u}{^1}^2} & \leq 0 \\ \\ \frac{ \frac{1}{\overline u{^1}' }\overline u{^2}^{"} \overline u{^1}' - \overline u{^2}'\frac{1}{\overline u{^1}' }\overline u{^1}^{"} } {\left(\overline u{^1}'\derecho)^2} & \leq 0 \\ \\ \overline u{^2}^{"} & \leq \frac{\overline u{^2}'}{\overline u{^1}' }\overline u{^1}^{"} \end{align*} para todos $x_1$.