Técnicamente, por supuesto. Casi cualquier empresa puede quebrar. Una pequeña nota: a empresa quiebra, no sus acciones. Sus acciones pueden perder valor en caso de quiebra, pero que desaparezcan o dejen de cotizar no significa necesariamente que la empresa haya quebrado. La quiebra también afecta a la deuda de la empresa, por lo que no sólo afecta a sus acciones.
No conozco ningún caso histórico en el que esto haya sucedido, pero es de suponer que las señales de advertencia de la quiebra serían lo suficientemente evidentes como para que pudieran ocurrir algunas cosas.
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Otra empresa, por ejemplo otra bolsa, holding, etc., podría comprar la bolsa que atraviesa dificultades financieras, y las empresas negociadas en ella se transferirían a la nueva empresa que se forme. Si otra bolsa comprara la bolsa en dificultades, las acciones de esta última podrían transferirse a la primera. Se trata de una opción atractiva porque las bolsas ya cuentan con una gran infraestructura. Sin embargo, dependiendo del país, podría enfrentarse a un escrutinio regulador.
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Otras empresas o gobiernos podrían rescatar la bolsa si nadie presentara una oferta de compra. La probabilidad de que esto ocurra depende de varios factores, como la voluntad política, el gobierno o gobiernos en cuestión, etc.
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Para una bolsa más pequeña, la bolsa podría cerrar todas las posiciones abiertas a un precio fijo. Esto es exactamente lo que ocurrió con la Bolsa Mercantil de Hong Kong (HKMex) que MSalters mencionó. Cuando la bolsa se derrumbó en mayo de 2013. cerradas todas las posiciones abiertas por su precio el jueves anterior a la fecha de cierre.
No sé si un stock La bolsa se limitaría a cerrar todas las posiciones abiertas a un precio fijo, ya que la renta variable existe técnicamente a perpetuidad con independencia del cierre de una bolsa, mientras que muchos derivados tienen fecha de vencimiento. Además, esta opción podría no ser viable para una bolsa grande. Por ejemplo, el Bolsa Mercantil de Chicago enumera miles de productos y gestiona cientos de millones de transacciones, por lo que cerrar todas las posiciones abiertas podría ser una empresa importante.
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Si no existiera ninguna de estas opciones, supongo que las empresas que cotizan en la bolsa se trasladarían activamente a otras bolsas más estables desde el punto de vista financiero. Estas empresas no quebrarían sin más. Los contratos también pueden cotizarse en otras bolsas.
Teniendo en cuenta el alto nivel de fusiones y adquisiciones, tanto fallidas como exitosas, en el mercado de las bolsas en los últimos años, yo supondría que la opción 1 sería la más probable (véase la Conversaciones sobre la fusión NYSE Euronext/Deutsche Börse y la fusión NYSE Euronext/ICE actualmente en curso), pero en el caso de las bolsas más pequeñas, existe el precedente histórico reciente del HKMex que habla del nº 3.
Además, la respuesta anterior sólo se aplica a las bolsas que cotizan en bolsa, y no todas las bolsas son entidades que cotizan en bolsa. Por ejemplo, la Bolsa de Shanghai es una organización cuasi gubernamental, por lo que supongo que se aplicaría la opción 2 porque ya recibe apoyo gubernamental. Su quiebra significaría que ha ocurrido algo para que el gobierno le retire su respaldo o que se ha hecho pública, y una discusión sobre esos acontecimientos que ocurran en el futuro es puro especulación.