¿Qué fórmula puedo utilizar para calcular el interés compuesto con inversiones recurrentes?

Question

Supongamos que estoy ahorrando X dólares cada año, y que cada año gano un 10 por ciento sobre lo que ahorré el año anterior. Por ejemplo, si estoy ahorrando 100 dólares cada año, vería la tendencia: 100, 210, 331, 464,1, 610,51, etc....

Esto es muy fácil de calcular en Excel, pero ¿cuál es la fórmula subyacente? Intenté calcularla y obtuve X*(número de años + tipo de interés^(número de años)), lo cual es incorrecto. ¿Alguna sugerencia?

Nota, esto no es una tarea, sólo estoy tratando de encontrar algo que me permita hacer un cálculo en la servilleta de los intereses compuestos sin tener que abrir Excel.

Answer 1

Desde Fórmulas financieras

P = 100
r = 10% = 0.1

when n = 1, FV = 100
     n = 2, FV = 210
     n = 3, FV = 331  etc.

Answer 2

Dejemos que B(y) sea el saldo de su cuenta al principio del año y inmediatamente después de su contribución anual (que suponemos que se produce a principios de año). Entonces:

B(0) = B0 + p
B(1) = (B0 + p)r + p
B(2) = ((B0 + p)r + p)r
…
B(y) = B0*r^y + p(1 + r + … + r^y)
     = B0*r^y + p(r^(y+1) - 1)/(r - 1)  ***

Sustituyendo sus números:

B(y) = 1000(1.1^(y+1) - 1)
B(0) = 1000(1.1 - 1) = 1000(0.1) = 100
B(1) = 1000(1.21 - 1) = 1000(0.21) = 210
B(2) = 1000(1.331 - 1) = 1000(0.331) = 331
…

Para ver por qué la fórmula de la suma parcial utilizada en *** es lo que es, toma la expresión

1 + r + r^2 + … + r^k

Ahora, multiplica:

  (1 + r + r^2 + … + r^k)(r - 1)
= (r + r^2 + … + r^(k+1)) - (1 + r + … + r^k)
= r^(k+1) - 1

A continuación, basta con dividir ambos lados por (r - 1) para recuperar la fórmula utilizada.

Answer 3

La respuesta es "depende" de lo exacto que quieras ser.

1. Fórmula de rendimiento anualizado = ((compra inicial + ganancias) / (compra inicial)) ^ (1/N)-1......(donde "N" es el número de años.
   • Se trata de una estimación aproximada, en la que se tomaría el valor inicial y se añadirían los ahorros de cada año como parte del importe de la ganancia.
2. Dietz modificado - El método Dietz modificado es un análisis de la rentabilidad de una cartera ponderado en dólares. Es una forma más precisa de medir la rentabilidad de una cartera que un simple método de rentabilidad geométrica

ROR = (EMV - BMV - C) / (BMV + W*C)

• EMV (Ending Market Value) - Es el valor de la cartera una vez finalizado el plazo que buscamos.
• BMV (Beginning Market Value) - Es el valor de la cartera a partir de la fecha en la que se deben calcular los rendimientos
• W (Peso de cada flujo de caja en la cartera) - Es el peso de la cartera entre cero y uno, pero sólo entre el período en que se produjeron y al final del período. Puede explicarse como la proporción de tiempo entre el momento en que se produce el flujo y el final del período. Se puede calcular mediante la fórmula W = [C- D] / C, donde D es el número de días transcurridos desde el inicio del período de retorno hasta el día en que se produjo el flujo. -C - Flujos de caja durante el periodo - Puede que no sea un solo número, sino una serie de flujos de caja que se produjeron durante el periodo.
• W*C = la suma de cada flujo de caja multiplicada por su peso. Se trata de una suma de flujos de caja ponderados

Answer 4

Se trata de una serie geométrica. No suelo utilizar la fórmula correcta, simplemente escribo

sum(100*1.08.^[1:10])

en GNU Octave. Sin embargo, vamos a derivar la fórmula de las series geométricas. Multipliquemos la fórmula para sum(p.^[1:10]) por p y ver lo que vamos a conseguir:

p*sum(p.^[1:10]) = sum(p.^[2:11]) = sum(p.^[1:11]) - p = sum(p.^[1:10]) + p^11 - p

(p-1)*sum(p.^[1:10]) = p^11 - p

sum(p.^[1:10]) = (p^11 - p) / (p - 1)

También puede calcular

sum(p.^[0:10]) = 1 + sum(p.^[1:10]) = (p^11 - p) / (p - 1) + 1
               = (p^11 - p + p - 1) / (p - 1) = (p^11 - 1) / (p - 1)

Introduce p = 1,08 para que obtengas:

(1.08^11 - 1.08) / (1.08 - 1) = 15.645

Y si escribes en GNU Octave

octave:1> sum(1.08.^[1:10])
ans =  15.645

...por lo que el resultado es correcto.

Por lo tanto, ahorrar 100 euros/dólares/lo que sea la moneda que utilices cada año con un rendimiento del 8% durante 10 años te da 100*15.645 = 1564.5