Dinámica gamma/delta en el modelo de Black Scholes y su relación con el PnL (Fundamentos de la teoría de opciones)

Question

Si estamos en una configuración de Black Scholes y tengo una opción Call y la cubro poniendo en corto la cantidad delta de su subyacente.

¿Qué me dice la segunda derivada de la llamada con respecto al precio del subyacente? Observemos el gráfico. ¿Qué significan los términos "break Even", "decay" y " localmente ¿se refiere a la cobertura en mi situación?

Este gráfico son unas notas manuscritas de profesores que he copiado.

Entiendo por qué la curvatura tiene el aspecto que tiene, pero no puedo descifrar el código de lo que significan los puntos de equilibrio y el término "decadencia". Y qué nos dice esta curva sobre el PnL para mi posición delta. El PnL de la posición delta debería ser cero, ¿no?

Por favor, facilite una explicación de este gráfico. Conozco todas las ecuaciones así que estoy interesado en ponerles palabras

Answer 1

Trabajamos en un mundo Black-Scholes. Consideremos la siguiente cartera con cobertura delta:

$$ \Pi_t=V_t-\frac{\partial V}{\partial S}S_t$$

Suponemos que la cartera se autofinancia $^{\text{(a)}}$ Por lo tanto: $$ \begin{align} \text{d}\Pi_t &= \text{d}V_t-\frac{\partial V}{\partial S}\text{d}S_t \\[3pt] \tag{1} & = \left(\frac{\partial V}{\partial t}\text{d}t+\frac{\partial V}{\partial S}\text{d}S_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(\text{d}S_t)^2\right)-\frac{\partial V}{\partial S}\text{d}S_t \\[3pt] & = \frac{\partial V}{\partial t}\text{d}t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(\text{d}S_t)^2 \\[3pt] & = \Theta_t\text{d}t+\frac{\Gamma_t}{2}(\text{d}S_t)^2 \end{align}$$

En El mundo de Black-Scholes , theta es negativo mientras que gamma es positivo, por lo tanto: $$\begin{align} \Theta_t\text{d}t & \leq 0 \\[6pt] \frac{\Gamma_t}{2}(\text{d}S_t)^2 & \geq 0 \end{align}$$

¿Qué relación tiene esto con su gráfico? Dando pasos discretos $\Delta t$ y $\Delta S_t$ (es decir, como en el comercio de la vida real), así:

• Si $\Delta S_t=0$ entonces $\Delta\Pi_t=\Theta_t\Delta t \leq 0$ que corresponde a la decadencia en su gráfico: la opción pierde valor a medida que pasa el tiempo.
• Sin embargo, como la gamma $\Gamma_t$ es positiva y la variación del precio de las acciones es al cuadrado, se concluye que cualquier movimiento del precio de las acciones, ya sea hacia abajo o hacia arriba , aumenta el valor de la posición. ¿Por qué? En aras de la claridad, supongamos que el tipo libre de riesgo es nulo; entonces su cartera con cobertura delta, cuyo valor crece al ritmo del tipo libre de riesgo, permanece constante y es igual a $\pi$ . Ahora:
  • Si el precio de las acciones sube en el intervalo $\Delta t$ el valor de su opción de compra $V_t$ sube . Para mantener el valor de la cartera $\Pi_t$ igual a $\pi$ , tienes que vender más acciones $S_t$ : vende cuando el precio es alto .
  • Si el precio de las acciones cae en el intervalo $\Delta t$ el valor de su opción de compra $V_t$ cae . Para mantener el valor de la cartera $\Pi_t$ igual a $\pi$ necesita recomprar acciones $S_t$ : compras cuando el precio es bajo .
• Punto de equilibrio es el punto en el que el decaimiento del tiempo se compensa con la ganancia del rebalanceo de las acciones: $$ \frac{\Gamma_t}{2}(\Delta S_t)^2=-\Theta_t\Delta t$$
• El término con cobertura local significa simplemente que la expansión $\text{(1)}$ sólo es válido a nivel local.

Por lo tanto, lo que el gráfico significa es que una cartera con cobertura delta en la que estamos largos en la llamada se beneficia de la volatilidad de las acciones porque compra a bajo precio y vende a alto precio . También puede comprobar la fórmula de cobertura de pérdidas y ganancias en la siguiente pregunta: " derivación del error de cobertura en una configuración de black scholes ".

$\text{(a): }$ esta cartera no se autofinancia estrictamente, pero esto no tiene ninguna repercusión para el asunto en cuestión, véase mi respuesta a " Cobertura delta dinámica y cartera autofinanciada " para más detalles.

Answer 2

Hay serios problemas con la forma de dibujar este gráfico, que impiden su comprensión. El eje "y" no está etiquetado y debería llevar la etiqueta "beneficios" o $\pi$ en una posición cubierta. El otro eje debe ser etiquetado como "cambio de precio de las acciones" o $\Delta S$ , no el precio de las acciones, y el punto medio del eje (donde la parábola tiene un mínimo) debe marcarse como cero. Los puntos a la izquierda del punto medio representan valores negativos. $\Delta S$ y los puntos de la derecha representan los positivos $\Delta S$ es decir, un aumento del precio de las acciones. Las palabras "con cobertura local" podrían sustituirse por "con cobertura discreta", lo que significa que se está largo en la opción y corto en la acción y se ajusta la delta cada $\Delta t$ y no de forma continua. Ha preguntado por la palabra "decaimiento": la tendencia de una opción a perder dinero con el tiempo se llama a veces "decaimiento temporal", pero sería igual de bueno escribir ahí "pérdidas" en lugar de "decaimiento". En esta parte de la curva la ordenada es negativa, lo que significa que estamos teniendo pérdidas.

Ahora, con el gráfico correctamente dibujado y etiquetado, ¿qué dice?

Como puede ver: para cambios pequeños (cercanos a cero) en el precio, los beneficios son negativos (es decir, la curva de beneficios está por debajo del eje). En las otras dos partes de la curva (para grandes cambios positivos en el precio de las acciones y para grandes cambios negativos) los beneficios son positivos. Por supuesto, en promedio, si la opción tiene un precio y una cobertura correctos, los beneficios de una posición cubierta son nulos. Pero en cualquier día el hecho de ganar o perder dinero depende de que $\Delta S$ es grande o pequeño en valor absoluto. Y esta propiedad es la que "tiene gamma".