Equilibrio Rotschild&Stiglitz (RS)

Question

En su documento pionero Rothschild y Stiglitz definen el equilibrio RS como un conjunto de contratos tales que i) cada empresa se equilibra ii) no existe ningún otro contrato que obtenga beneficios no negativos cuando se ofrece.

Y demuestran que no existe ningún equilibrio de agrupación y que sólo puede haber un equilibrio de separación.

En este equilibrio de separación, los riesgos altos obtienen una cobertura total, pero los riesgos bajos sólo una cobertura parcial con primas iguales a las probabilidades de pérdida, respectivamente.

¿Qué le parecería otro paquete de contratos de separación, en el que los riesgos altos están subvencionados de forma cruzada por los riesgos bajos, como se muestra en el gráfico con líneas de seguro rojas y curvas de indiferencia verdes (G, H)?

Cuando se ofrece el nuevo paquete, los riesgos altos lo preferirán a E y los riesgos bajos a F (véanse las curvas de indiferencia). Y los riesgos altos son indiferentes entre G y H, como en el equilibrio de separación habitual. Por supuesto, este nuevo paquete no constituiría un equilibrio, ya que la zona sombreada en amarillo sólo atrae a los riesgos bajos, y podría darse el caso similar al de la agrupación.

Sin embargo, ¿la posibilidad de tales paquetes no llevaría al contrato de separación habitual a una inestabilidad? El nuevo paquete que obtiene un beneficio no negativo parece violar la segunda condición del equilibrio de Rothschild-Stiglitz.

Ejemplo numérico

• Función de utilidad: logaritmo natural
• Riqueza inicial=100
• Pérdida en caso de accidente=90
• Probabilidad de pérdida de los riesgos bajos=0,1
• Probabilidad de pérdida de los riesgos altos=0,9

1) Restricción de compatibilidad de incentivos para la RS original Ec.

log(100-0.9*90)=0.9*log(100-0.1*x-90+x)+0.1*log(100-0.1*x)

donde x es la cantidad de cobertura parcial que reciben los riesgos bajos en la ecuación original de RS. Matlab calcula;

• x=6.455383900159773
• Utilidad (riesgos bajos) = 4,424718438632044

2) Los riesgos bajos subvencionan los riesgos altos

Añade 0,08 a la prima de los riesgos bajos y resta la misma cantidad de los riesgos altos. (P.D: Esto es sólo un ejemplo, también tengo el número que maximiza la utilidad)

• new coverage=15.424194558495868
• nueva utilidad(riesgos bajos)=4,452073664660258
• utilidad de los riesgos elevados=3,265759410767051 (lo mismo para la cobertura total con una prima más alta que para la cobertura parcial con una prima más baja)

P.D.: No es necesario computar la utilidad de los riesgos elevados porque evidentemente alcanzan un nivel de utilidad superior al seguir recibiendo una cobertura completa con una prima más barata.

Finalmente, vemos que el nuevo paquete supera al original de RS, ¿no es así?

A continuación se muestran los códigos de Matlab que utilicé:

y=0.08 %subsidy amount ICC = @(x) log(100-(0.9-y)*90) - 0.9*log(100-90-(0.1+y)*x+x) - 0.1*log(100-(0.1+y)*x); %Incentive Compatibility Constraint z = fzero(ICC,50); %coverage amount of low risks WRT ICC z u=0.1*log(100-90-z*y+z)+0.9*log(100-z*y) %utility of low risks

Edición: También podría tener una prueba algebraica general, pero necesito verificarla y la compartiré aquí después.

Answer 1

Es importante recordar que las cifras no son pruebas. Los pequeños errores en la figura son difíciles de detectar pero pueden cambiar el resultado. El álgebra es mucho más fiable.

Ahora mismo, en su figura, los consumidores del tipo de bajo riesgo tienen curvas de indiferencia que tienen una pendiente ascendente en alguna parte. Sin embargo, parece que eso no es crítico aquí.

La visualización de las subvenciones parece ser el mayor problema. Es necesario que G y H estén a la misma distancia de sus respectivas líneas de beneficio cero originales. Por lo tanto, las "nuevas" líneas de isobeneficio deben ser paralelas a las antiguas y estar exactamente a la misma distancia.

Me parece que es imposible colocar GH en estas líneas preservando la compatibilidad de los incentivos debido a las pendientes relativas. Sin embargo, esto tampoco es una prueba. Si esbozas un par exacto de GH y escribes las ecuaciones que crees que demuestran que constituyen una mejora siendo compatibles con los incentivos, puede que obtengas mejores respuestas (así como una mejor comprensión del modelo).

EDITAR
Me parece que en su ejemplo numérico las subvenciones no se anulan entre sí. No basta con cambiar las tarifas en el mismo porcentaje, porque los distintos tipos no compran la misma cantidad de seguros.

Cuesta $8\% \cdot 90 = 7.2$ para subvencionar los tipos de alto riesgo, pero sólo $8\% \cdot 15.4242 \approx 2.78$ se recauda de las tasas adicionales de los tipos de bajo riesgo. Si hay el mismo número de personas en ambos tipos, esto no funcionará. Pero parece funcionar si hay, por ejemplo, el triple de personas de bajo riesgo. La verdad es que esto me parece muy sorprendente. He comprobado tanto las restricciones del CI como todas las utilidades, y todo parece cuadrar.

Sin embargo, sus nuevas ofertas no serán definitivamente un equilibrio. Mientras una aseguradora ofrezca el seguro de alto riesgo, otras aseguradoras podrán ofrecer sólo el de bajo riesgo. Sin clientes de alto riesgo que subvencionar, obtendrán beneficios. Al desplazar la oferta de alto riesgo un poco más a la derecha, pueden desviar a todos los consumidores de bajo riesgo de la aseguradora que subvenciona de forma cruzada, que entonces sufrirá pérdidas. Así que supongo que el equilibrio de la RS es una especie de equilibrio a largo plazo.