La expectativa de dos correlación de procesos?

Question

Considere lo siguiente:

$$ dn_t = [\theta_n(t)-a_nn_t]dt + \sigma_ndW_{t}^n \\ dr_t = [\theta_r(t)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r-a_rr_t]dt + \sigma_rdW_{t}^r $$ Interpretar $dn_t$ como la difusión de la nominal de la tasa de corto y $dr_t$ como la difusión de la tasa real corta. Ahora, escriba la siguiente expectativa:

$$ \mathbb{E^P}[I_{T}] = I_0\mathbb{E^P}[e^{\int_0^Tn(s)-r(s)ds}] $$

Se puede simplificar más? He considerado que la separación de los términos y el cálculo de las expectativas por separado y se multiplican, pero el hecho es que ambos procesos están correlacionados me sugiere que esto no se puede hacer. Nadie?

Me interpretar la diferencia entre $n(s)$ y $r(s)$ en la integral como el diferencial entre el valor nominal y real de las tasas de corto. Tenga en cuenta que la cantidad de $I_t$ representa la inflación en vez de $t$. Esto tiene sentido intuitivamente: la inflación esperada en un tiempo futuro depende de la espera de difusión en el mismo momento en el futuro.

Sólo quiero saber si me puede perforar más en el álgebra y obtener algo más simple, más elegante. O tal vez alguien sabe de una discusión que podría consultar?

Answer 1

Tenga en cuenta que, como en esta pregunta, para $s\ge t\ge 0$, \begin{align*} n_s = e^{-a_n(s-t)}n_t + \int_t^s \theta_n(u)e^{-a_n(s-u)} du + \int_t^s \sigma_n e^{-a_n(s-u)} dW^n_u, \end{align*} y \begin{align*} r_s = e^{-a_r(s-t)}r_t + \int_t^s (\theta_r(u) -\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r) e^{-a_r(s-u)} du + \int_t^s \sigma_r e^{-a_r(s-u)} dW^r_u. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} \int_t^T n_s ds = \frac{1}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-t)} \Big) n_t &+ \int_t^T\!\! \frac{\theta_n(u)}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-u)} \Big)du \\ &+ \int_t^T \!\!\frac{\sigma_n}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-u)} \Big)dW_u^n, \end{align*} y \begin{align*} \int_t^T r_s ds= \frac{1}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-t)} \Big) n_t &+ \int_t^T\!\! \frac{\theta_r(u)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-u)} \Big)du \\ &+ \int_t^T \!\!\frac{\sigma_r}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-u)} \Big)dW_u^r. \end{align*} Vamos a $B_n(t, T) = \frac{1}{a_n}\Big(1-e^{-a_n(T-u)} \Big)$ y $B_r(t, T) = \frac{1}{a_r}\Big(1-e^{-a_r(T-u)} \Big)$. A continuación, \begin{align*} \int_t^T n_s ds &= B_n(t, T) n_t + \int_t^T \theta_n(u) B_n(u, T) du + \int_t^T \sigma_n B_n(u, T) dW_u^n, \end{align*} y \begin{align*} \int_t^T r_s ds &= B_r(t, T) r_t + \int_t^T (\theta_r(u)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r) B_r(u, T) du + \int_t^T \sigma_r B_r(u, T) dW_u^r. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} E\a la izquierda(e^{\int_t^T (n_s-r_s) ds} \mid \mathcal{F}_t \derecho) &= e^{B_n(t, T) n_t-B_r(t, T) r_t+\int_t^T \theta_n(u) B_n(u, T) du -\int_t^T (\theta_r(u)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r) B_r(u, T) du}\\ &\quad \times e^{\frac{1}{2}\int_t^T \sigma_n^2 B_n(u, T)^2 du+\frac{1}{2}\int_t^T \sigma_r^2 B_r(u, T)^2 du - \int_t^T \rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r B_n(u, T)B_r(u, T)du}. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} \int_t^T \sigma_n^2 B_n(u, T)^2 du &= -\frac{\sigma_n^2}{a_n^2}\big(B_n(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_n^2}{2a_n}B_n(t, T)^2,\\ \int_t^T \sigma_r^2 B_r(u, T)^2 du &= -\frac{\sigma_r^2}{a_r^2}\big(B_r(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_r^2}{2a_r}B_r(t, T)^2 \end{align*} y \begin{align*} \int_t^T B_n(u, T)B_r(u, T)du = \frac{1}{a_na_r}\left[T-t - B_n(t, T)-B_r(T, t)+\frac{1}{a_n+a_r}\left(1-e^{-(a_n+a_r)(T-t)}\right) \derecho]. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} E\a la izquierda(e^{\int_t^T (n_s-r_s) ds} \mid \mathcal{F}_t \derecho) &= A_n(t, T) A_r(t, T) C(t, T) e^{B_n(t, T) n_t-B_r(t, T) r_t}, \end{align*} donde \begin{align*} A_n(t, T) &= e^{\int_t^T \theta_n(u) B_n(u, T) du -\frac{\sigma_n^2}{2a_n^2}\big(B_n(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_n^2}{4a_n}B_n(t, T)^2}, \\ A_r(t, T) &= e^{-\int_t^T (\theta_r(u)-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r) B_r(u, T) du -\frac{\sigma_r^2}{2a_r^2}\big(B_r(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma_r^2}{4a_r}B_r(t, T)^2}, \end{align*} y \begin{align*} C(t, T) = e^{\frac{-\rho_{r,n}\sigma_n\sigma_r}{a_na_r}\left[T-t - B_n(t, T)-B_r(T, t)+\frac{1}{a_n+a_r}\left(1-e^{-(a_n+a_r)(T-t)}\right) \right]} \end{align*} Tenga en cuenta que esto es similar a la de Hull-White bono cupón cero fórmula de fijación de precios.