Un Engañoso De La Rifa

Question

Supongamos que tenemos un hambre de fox. Él tiene un gigantesco montón de malcriado zanahorias que él no puede comer (y no comer si eran frescos de todos modos), pero también conoce los conejitos en el área vecina amor zanahorias.

Él sellos de seguridad de todos los malcriados zanahorias herméticamente cerrado en una cesta y se dirige a poner un travieso plan en vigor. Se anuncia a todos los $$ n número de conejos en la región que se está rifando un enorme tesoro de zanahorias por valor de $x$ cantidad de dinero que se podría llegar a una vecina de mercado, pero que él es decidir a rifar a sus buenos vecinos. Él dice que va a entregar la carga a sí mismo para el ganador de la casa privada.

La fox insiste en mantener la zanahoria fresca y mantiene la cesta cerrada, por lo que los conejos no se puede oler ni ver las zanahorias antes de la rifa, en el momento. Él tiene planes para vender boletos por $p$ de dinero de cada uno, y luego elegir aleatoriamente a una de las entradas como el ganador. Un conejo puede comprar más de un billete. Este proceso es público y verificable. Cuando se entrega el mimado zanahorias, actuará sorprendido y, a continuación, cualquier reembolso de los boletos que el ganador había comprado, y digo el ganador se dará a los reembolsos para el resto de los conejitos demasiado...antes de huir con el resto de los ingresos antes de que nadie lo detenga.

Los conejitos son un poco sospechosas de toda esta rifa, en diversos grados, pero si eran el ganador, que no iba a pedir un reemplazo premio de igual valor a las zanahorias y aceptaría la refundwhile el zorro se fue a su casa (que es una cosa cultural). Decimos que cada uno de los conejos de la utilidad esperada de los boletos es:

$$\mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)] = \frac{t_i}{\sum_i^n t_i}(g_i\cdot[C - x^2 + x] - pt_i) + (1 - \frac{t_i}{\sum_i^n t_i})(-pt_i)$$

donde $C>0$ es una constante, y $g_i \en (0, 1]$ es un uniforme de la credulidad de distribución (superior es más crédulos, cada conejo tiene un diferente $g_i$ en algún lugar en el distirbution). Observe cómo si la fox anuncia $x$ es demasiado alta, los conejitos se piensa que la rifa es demasiado bueno para ser verdad, y empezar a valorar la rifa menos de lo que tendría, para todo lo demás igual. $\mathbb{E}(u_i)$ es información pública, y de la distribución de $g_i$ es público info así.

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Mi pregunta es si es posible o no para la fox para

• determinar la demanda de boletos que se da la información
• si es así, lo que $x$ y $p$ debe anunciar a maximizar el beneficio esperado
• si no, ¿qué información adicional la pregunta debe ser convincente, problema solucionable

Answer 1

Un punto crítico aquí es señalar que el número total de entradas no se establece a priori. Esto es bueno, porque hace que la utilidad esperada de la función no lineal en $t_i$, y así nos permite proceder (a medio camino).

Escrito $S$ para el número total de entradas y $S_{-i}$ para el número total menos las compras de conejito $i$, y simplificando, la utilidad esperada es

$$\mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)] = \frac{t_i}{S}\cdot g_i\cdot [C-x^2+x] -pt_i \etiqueta{1}$$

La condición de primer orden para la maximización de la utilidad de un conejito con respecto al número de billetes comprados es,

$$\frac {\partial \mathbb{E}[u_i(t_i, g_i)]}{\partial t_i} = \frac{S_{-i}}{S^2}g_i\cdot [C-x^2+x] p=0$$

$$\implica t_i = \left(\frac {S_{-i} g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\derecho)^{1/2} - S_{-i} \etiqueta{2}$$

El segundo orden se satisface la condición para que esto sea un máximo. Reorganización de $(2)$ obtenemos

$$S = \left(\frac {S_{-i} g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\derecho)^{1/2} \etiqueta{3}$$

La elección de los $i$ era arbitraria, por lo que hemos

$$S_{-i} g_i = S_ {j} g_j,\;\;\; \forall i\neq j \implica (S-t_i)g_i = (S-t_j)g_j$$

$$\implica t_j = S - \frac {g_i}{g_j}(S-t_i), \;\;\; \forall j\neq i \etiqueta{4}$$

Suma más de $j\neq i$ obtenemos

$$S-t_i =S_{-i} = (n-1)S - (S-t_i)g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1} $$

$$\implica (S-t_i) = \frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S \etiqueta{5}$$

La inserción de $(5)$ en $(3)$ obtenemos

$$S = \left(\frac {\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}S g_i\cdot [C-x^2+x]}{p}\derecho)^{1/2}$$

$$\implica que S = \frac {(n-1)g_i\cdot [C-x^2+x]}{\left(1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}\derecho)p} \etiqueta{6}$$

Hemos sido capaces de expresar la demanda total como una función de las variables de decisión de la fox, y los parámetros/variables aleatorias del modelo. Sin embargo, también apunta a que el problema aquí (multiplicar por $p$ a obtener los ingresos de la función), pero vamos a derivar de forma explícita.

Para un uso posterior, de $(5)$ nosotros también

$$t_i = S\left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right) \etiqueta{7}$$

Volviendo a la función de beneficios de la fox, ha determinado los ingresos brutos iguales a $pS$ y entonces ella se han de reembolso del importe pagado por el conejito que llega a ganar la lotería. Así que con probabilidad $t_i/S$ el zorro se $pS - pt_i$. Por lo que el beneficio esperado de la función, después de la venta de entradas ha sido finalizado y antes de que el sorteo de la lotería, es

$$E(\pi) = \sum_{i=1}^n \frac {t_i}{S}\left(pS - pt_i\derecho) = p\sum_{i=1}^n \frac {t_i(S-t_i)}{S} \etiqueta{8}$$

La inserción de $(5),(7)$ en $(8)$, tenemos

$$E(\pi) = p\sum_{i=1}^n \frac {S\left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)\left(\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1} S}\right)}{S} $$

$$= pS\sum_{i=1}^n \left(1-\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)\left(\frac {n-1}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\right)$$

También mediante $(6)$ obtenemos, después de la simplificación

$$E(\pi) = \frac {(n-1)^2g_i\cdot [C-x^2+x]}{1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}}\cdot \sum_{i=1}^n \left[\frac {\left(g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}-n+2\right)}{\left(1+g_i\sum_{j\neq i}g_j^{-1}\derecho)^2}\right] \etiqueta{9}$$

La ecuación $(9)$ revela los problemas aquí: Mientras que a partir de $(3)$ el zorro puede inferir de todo, se dio cuenta de $g_i$'s, ex ante, el beneficio esperado de la función se parece a una función muy compleja de $n$ Uniforme $(0,1)$ variables aleatorias.

Pero lo que es más importante, el beneficio no depende de los precios (ya que para empezar con el Total de Ingresos no dependen de los precios). Mientras que esta es la norma en un perfecto entorno competitivo (donde el equilibrio del mercado determina el precio), aquí tenemos un monopolio. Para solucionar este problema, uno debe regresar a la utilidad esperada de la función y cambiar su cuasi-lineal de la forma, y asumir en lugar cóncavo de la utilidad en $pt_i$, $v(pt_i), v'>0, v"<0$. Esto mantendrá el precio como argumento de la función de beneficios junto con la $x$, y la maximización de los beneficios con respecto a $(p,x)$ conjuntamente podría intentarse.