Tengo una cartera de 4 activos. También tengo los rendimientos de 3 índices. Quiero obtener las betas multivariantes de estos 4 activos en base a estos activos. Sólo tengo la matriz de covarianza de 7 x 7 estimada por un Modelo de Media Móvil Ponderada Exponencial (EWMA). ¿Cómo puedo obtener estas betas multivariadas? Sé que desde una perspectiva univariante utilizaría la covarianza (Asset1Return,Index1Return)/Var(Index1) pero esto sólo da la beta univariante.
Respuestas
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Nicolas Marchildon
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Con esta solución tienes que dividir un poco tu matriz de covarianza, pero debería darte un vector con betas basado en tus covarianzas condicionales.
Ejemplo con dos índices, $x1$ y $x2$ y un activo $y$ .
$$[\sigma_{y,x1}, \sigma_{y, x2}]\begin{bmatrix} \sigma_{x1}^2 & \sigma_{x1,x2} \\ \sigma_{x1,x2} & \sigma_{x2}^2 \end{bmatrix}^{-1}$$
fkydoniefs
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Digamos que has hecho los cálculos de la forma clásica de regresión. Si metes los rendimientos de tus 4 activos en un $(T\times 4)$ matriz $Y$ y sus 3 factores de retorno en un $(T\times 3)$ matriz $X$ entonces sus betas resolverían las regresiones múltiples, recogidas en un $(3\times 4)$ matriz $$Y = X\cdot \beta + \epsilon$$ También puede añadir una columna de unos en $X$ si quieres tener también una constante, pero esto no importa. La solución OLS sería $$\beta = (X'X)^{-1}(X'Y)$$
Puedes ver la analogía con la fórmula cov/var univariante que describes. El $X'Y$ parte corresponde a la $(3\times 4)$ covarianzas de los factores de los activos, mientras que el $X'X$ partes corresponde a la $(3\times 3)$ covarianzas entre factores.
Por lo tanto, yo diría que su gran $(7\times 7)$ La matriz de covarianza EWMA puede dividirse como $$\left( \begin{array}{cc} X'X & X'Y \\ Y'X & Y'Y \end{array} \right) $$ A partir de la cual se pueden elegir los elementos adecuados para calcular las betas.
