Escrito el núcleo como la intersección de pareto eficiente de los resultados de todas las coaliciones

Question

He estado revisando los modelos de equilibrio general y estaba tratando de encontrar un método eficaz para calcular el núcleo de un juego cooperativo. Me enseñaron este tema de una manera muy pobre así que creo que todavía tiene algunos errores de concepto.

Aquí es un pensamiento que he tenido:

Supongamos que estamos en una economía con tres de los consumidores, de $A$, $B$ y $C$, con una utilidad de $u_{i}(x)$ definidas sobre paquetes de $x \in \mathbb{R}^{2}$ y dotaciones de $\omega_{i}$ para $i = a, B ,C$. Quiero calcular el núcleo de esta economía.

Sé que el núcleo debe satisfacer: \begin{align} u_{A}(x_{A}) &\geq u_{A}(\omega_{A})\\ u_{B}(x_{B}) &\geq u_{B}(\omega_{B})\\ u_{C}(x_{C}) &\geq u_{C}(\omega_{C})\\ \end{align} es decir, el núcleo debe ser individualmente racional. Así que vamos a $$D =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ es individualmente racional de $A$, $B$ y $C$} \}$$ también sé que el núcleo es un subconjunto de pareto eficiente de los resultados, así que vamos a $$E =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ es pareto eficiente} \}$$ Ahora aquí está la parte no estoy seguro acerca de: yo sé que el núcleo no es también bloqueado por cualquier persona de la coalición. Yo creo que esto significa que cualquier núcleo de la asignación pareto eficiente para cualquier persona juego. Así defino: \begin{align} F_{1} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ es pareto eficiente en el juego cooperativo con sólo $A$ y $B$ } \}\\ F_{2} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ es pareto eficiente en el juego cooperativo con sólo $A$ y $C$ } \}\\ F_{3} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : x \text{ es pareto eficiente en el juego cooperativo con sólo $B$ y $C$ } \} \end{align}

Aquí están mis preguntas:

1. Es el análisis anterior, ¿correcto?
2. Puedo escribir el conjunto de asignaciones de $\mathcal{C}$ como $$\mathcal{C} = D \cap E \cap F_{1} \cap F_{2} \cap F_{3}\text{?}$$
3. Puede que este método de resolución de ser generalizado a un juego con $n$ los jugadores y $m$ bienes?

Déjame saber si algo no está claro!

Answer 1

1. La mayoría de lo que escribes es correcto, pero las definiciones de los $F_i$ conjuntos es impreciso. El problema es que en el núcleo de $A$ y $B$ puede obtener los bienes que no coinciden con su inicial dotaciones. En este caso no es cierto que el núcleo de la asignación de $x$ es Pareto-eficiente en el restringido 2-persona economía de $A$ y $B$, ya que $x$ es ni siquiera una asignación en la que juego.

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Edit: (Un ejemplo)

Considerar la inicial dotaciones $$ \omega_{A} = (1,1), \omega_{B} = (1,1), \omega_{C} = (2,2) $$ y una asignación de $x$ $$ x_A = (2,2), x_B = (2,2), x_C = (0,0). $$ $A$ y $B$ no puede Pareto-mejorar en $x$. Pero $x$ no es Pareto-eficiente asignación en su 2-persona de la economía, debido a que no es factible la asignación de su economía: $$ x_A + x_B \neq \omega_{A} + \omega_{B} $$

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Una mejor definición de los conjuntos $F_i$ sería algo como:

Deje que nos denota el conjunto de asignaciones factibles de la 2-persona economía de $A$ y $B$ por $Y_{A,B} \subconjunto \mathbb{R}^{2}$. Entonces $$ F_{1} =\{ x \in \mathbb{R}^{2} : \nexists y \en Y_{A,B} \text{ tales que } u_{A}(y_{A}) \geq u_{A}(x_{A}), u_{B}(y_{B}) > u_{B}(x_{B}) \} $$ Todavía hay algunos problemas con los casos cuando $A$ es mejor y $B$ no es peor, pero si las funciones de utilidad son continuas, entonces esto no debería suponer un problema.

Puede definir $F_{2}$ y $F_{3}$ en una manera similar.

Una observación: $E$ no es 'especial', es el conjunto de asignaciones que no pueden ser mejorados por los tres jugador de la coalición. Esto es equivalente a la Pareto eficiencia.

2. Sí. ¿Por qué no? Esto es exactamente lo que el núcleo es.

3. Yo no lo llamaría problemas, debido a que generalmente no se obtiene una única solución, y en casos extremos puede llegar a ninguna solución. Pero sí, cada economía ($n$ los jugadores, $m$ productos) tiene un núcleo, y se define de esta manera. (Como se indica, a menos que se cumplan ciertas condiciones el núcleo puede estar vacío. Un equilibrio competitivo es siempre un elemento de la base, así que si que existe, el núcleo no está vacía.)