Una función de utilidad (ni sustitutos perfectos ni complementos perfectos) que procede de un f. CES y conduce a complementos brutos o substitutos brutos.

Question

Por lo tanto, las preferencias más prominentes son los substitutos perfectos, los complementos perfectos y las preferencias cobb-douglas. Los complementos perfectos y los substitutos perfectos son casos extremos y me preguntaron si hay preferencias (modeladas por una función de utilidad correspondiente) que son por ejemplo complementos pero no complementos perfectos o substitutos pero no substitutos perfectos. Inmediatamente pensé en las preferencias Cobb-Douglas, ya que una propiedad especial de las preferencias Cobb-Douglas es que la convexidad se cumple estrictamente aquí: Un conjunto de bienes formado como un promedio ponderado de dos bienes en la misma curva de indiferencia siempre es mejor que cualquiera de los conjuntos extremos de bienes. Así que a primera vista, esto parecía ser un candidato bastante razonable para "un poco de complementos pero no complementos perfectos".

Sin embargo, la definición común para que el bien 1 sea un complemento grueso del bien 2 es $\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{2}}<0$ mientras que para los substitutos debe ser $\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{2}>0$ (ver por ejemplo la diapositiva 2 y 3 en este recurso: https://web.stanford.edu/~jay/micro_class/lecture7.pdf). Al derivar la función de demanda del bien 1 (usando Lagrange con la restricción presupuestaria correspondiente), la demanda del bien 1 solo depende del precio del bien 1 (además del ingreso) y no del precio del bien 2. Este es un hecho bien documentado y una propiedad de la función Cobb-Douglas. La razón subyacente es que el efecto de sustitución y el efecto de ingreso de un aumento en el precio 2 se cancelan aquí (ver por ejemplo la página 2 en este recurso: https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/campuspress.yale.edu/dist/3/352/files/2012/01/Week-3-Lecture2.pdf)

En consecuencia, los bienes no son ni complementos gruesos ni substitutos gruesos al aplicar las definiciones de "substitutos gruesos" o "complementos gruesos" en las funciones de demanda resultantes derivadas de las preferencias Cobb-Douglas. Mis preguntas:

1. ¿Estás de acuerdo en que este resultado es de alguna manera poco intuitivo (especialmente desde una perspectiva de aprendiz) ya que las preferencias Cobb-Douglas implican una estricta convexidad y uno pensaría más bien en una relación de complementariedad gruesa de estos bienes al resolver las funciones de demanda? ¿Cómo se puede dar sentido a este resultado?

2. Me gustaría saber si tienes algunas propuestas de función de utilidad (excepto los complementos perfectos y los substitutos perfectos) que lleven a complementos gruesos o substitutos gruesos según las definiciones anteriores al resolver las funciones de demanda? Para la función de producción CES mostrada en la página 5 de estas diapositivas https://economics.mit.edu/files/9016 se señala que los factores son substitutos gruesos para sigmas mayores que uno y complementos gruesos para sigmas menores que uno. Estoy seguro de que esto también debería aplicarse a la función de utilidad CES y que se puede derivar una función de utilidad concreta (basada en valores de sigma menores o mayores que uno), resolver la demanda de bien uno y dos y así ilustrar que los bienes son de hecho substitutos gruesos o complementos gruesos. Me interesa especialmente ver cómo se verán las curvas de indiferencia. No estoy tan familiarizado con la función CES, razón por la cual no puedo hacerlo yo mismo en este momento. ¿Tienes algún consejo de lectura bueno para una explicación comprensible de la función CES con sus propiedades? ¡Gracias!

Answer 1

Podemos mostrar si una función de utilidad exhibe complementariedad o substituibilidad solo a partir de su función, sin tener ninguna información sobre los precios. La función de utilidad proporciona información sobre las preferencias.

Toma una función de utilidad y calcula MRS = - U’x_1 / U’x_2:

• Sustitutos Perfectos: U(x1,x2) = a x_1 + b x_2 con

  MRS = -a/b. Esto significa que hay una relación sustitutiva de a:b entre los paquetes x_1 y x_2.

• Complementos Perfectos: U(x1,x2) = min(a x_1, b x_2) con

  MRS = 0/b = 0 para la parte horizontal (a x_1 > b x_2)

  MRS = a/0 = - para la parte vertical (a x_1 < b x_2) y

  MRS = undef. en el punto de quiebre.

• Cobb-Douglas: U(x_1,x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5} con MRS = -x_2/x_1

  • El MRS no es constante, por lo tanto hay substitubilidad entre los dos paquetes que puede variar dependiendo de los valores. Por lo tanto, las preferencias de C-D muestran sustitutos imperfectos.
  • El MRS = 0 (o U(x_1,x_2)=0) si x_i=0. Lo que significa que ambos paquetes deben ser consumidos para una utilidad positiva, pero la proporción puede variar. Por lo tanto, las preferencias de C-D muestran complementos imperfectos.