Una función de utilidad (ni sustitutos perfectos ni complementos perfectos) que se deriva de una f. CES y conduce a complementos brutos o sustitutos brutos

Question

Así, las preferencias más destacadas son los sustitutos perfectos, los complementos perfectos y las preferencias cobb-douglas. Los complementos perfectos y los sustitutos perfectos son casos extremos y me preguntaron si existen preferencias (modeladas por una función de utilidad correspondiente) que sean, por ejemplo, complementos pero no complementos perfectos o sustitutos pero no sustitutos perfectos. Inmediatamente pensé en las preferencias Cobb-Douglas, ya que una propiedad especial de las preferencias Cobb-Douglas es que aquí se cumple estrictamente la convexidad: Un conjunto de bienes formado como media ponderada de dos bienes en la misma curva de indiferencia es siempre mejor que cualquiera de los conjuntos extremos de bienes. Así que, a primera vista, esto parecía un candidato bastante razonable para "un poco de complementos pero no complementos perfectos".

Sin embargo, la definición común para el bien 1 de ser un bruto complemento del bien 2 es $\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{2}}<0$ mientras que para los sustitutos debe ser $\frac{\Delta x_{1}}{\Delta p_{2}}>0$ (ver, por ejemplo, las diapositivas 2 y 3 de este recurso: https://web.stanford.edu/~jay/micro_class/lecture7.pdf ). Al derivar la función de demanda del bien 1 (utilizando Lagrange con la correspondiente restricción presupuestaria), la demanda del bien 1 sólo depende del precio del bien 1 (más la renta) y no del precio del bien 2. Este es un hecho bien documentado y una propiedad de la función Cobb-Douglas. La razón subyacente es que el efecto de sustitución y de renta de un aumento del precio 2 se anula aquí (véase, por ejemplo, la página 2 de este recurso: https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/campuspress.yale.edu/dist/3/352/files/2012/01/Week-3-Lecture2.pdf )

Por lo tanto, los bienes no son bruto complementos ni bruto sustitutos al aplicar las definiciones de "sustitutos brutos" o "complementos brutos" en las funciones de demanda resultantes derivadas de las preferencias Cobb-Douglas. Mis preguntas:

1. ¿Está usted de acuerdo en que este resultado es de alguna manera contraintuitivo (especialmente desde la perspectiva del alumno) ya que las preferencias Cobb-Douglas implican una convexidad estricta y uno preferiría pensar en un bruto ¿la relación de complementariedad de estos bienes al resolver las funciones de demanda? ¿Cómo se puede entender este resultado?

2. Me interesaría saber si tienes alguna propuesta de función de utilidad (excepto para complementos perfectos y sustitutos perfectos) que lleve a bruto complementos o bruto ¿según las definiciones anteriores al resolver las funciones de demanda? Para la función de producción CES que se muestra en la página 5 de estas diapositivas https://economics.mit.edu/files/9016 se señala que los factores son sustitutos brutos para sigmas mayores que uno y complementos brutos para sigmas menores que uno. Estoy seguro de que esto también debería aplicarse a la función de utilidad CES y que se puede derivar una función de utilidad concreta (basada en valores de sigma menores o mayores que uno), resolver la demanda de los bienes uno y dos y, por tanto, ilustrar que los bienes son efectivamente sustitutos brutos o complementos brutos. Tengo especial curiosidad por ver cómo serán las curvas de indiferencia. No estoy muy familiarizado con la función CES, por lo que no puedo hacerlo yo mismo por el momento. ¿Tienes algún consejo de lectura para una explicación comprensible de la función CES con sus propiedades? Gracias.

Answer 1

Podemos demostrar si una función de utilidad presenta complementariedad o sustituibilidad sólo a partir de su función, sin tener ninguna información sobre los precios. La función de utilidad da información sobre las preferencias.

Tome una función de utilidad y calcule el $MRS = - U’x_1 / U’x_2 $ :

• Sustitutos perfectos: $U(x1,x2) = a x_1 + b x_2$ con

  $ MRS = -a/b$ . Esto significa que existe una relación sustitutiva de $a:b$ entre los paquetes $x_1$ y $x_2$ .

• Complementos perfectos: $U(x1,x2) = min(a x_1, b x_2)$ con

  $MRS = 0/b= 0$ para la parte horizontal $(a x_1 > b x_2)$

  $MRS = a/0 = - $ para la parte vertical $(a x_1 < b x_2)$ y

  $MRS= undef.$ en la torcedura.

• Cobb-Douglas: $U(x_1,x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$ con $MRS = - x_2/ x_1$

  • El MRS no es constante, por lo que existe una sustituibilidad entre los dos paquetes que puede variar en función de los valores. Así, las preferencias C-D mostrar sustitutos imperfectos .
  • El $MRS=0$ (o $U(x_1,x_2)=0$ ) si $x_i=0$ . Esto significa que ambos paquetes deben ser consumidos para obtener una utilidad positiva, pero la proporción puede variar. Así, las preferencias C-D mostrar complementos imperfectos .