Considere la posibilidad de
$$f(x) + z = y \\ x = g(y)$$
Tengo un efecto de retroalimentación en mente:
Estoy interesado en la solución de la elasticidad de $x,y$ w.r.t. $z$. Creo que es necesario algún tipo de concavidad requisito de $f \circ g$. ¿Cómo me acerco a esta?
Tenemos un equilibrio dado por $$h_1(x,y)=f(x)+z-y=0,$$ $$h_2(x,y)=x-g(y)=0$$. El teorema de la función implícita, a continuación, dice que (la omisión de los argumentos): $$\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{-\det\left( \begin{matriz} \frac{\partial h_1}{\partial z} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial z} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matriz}\right)}{\det\left( \begin{matriz} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matriz}\right)},\quad \frac{\partial y}{\partial z}=\frac{-\det\left( \begin{matriz} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial z} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial z} \end{matriz}\right)}{\det\left( \begin{matriz} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matriz}\right)}.$$
Mi fuente para esto es los Métodos Matemáticos y los Modelos de los Economistas por Ángel de la Fuente, aunque no tengo el libro a mano ahora y no se puede recordarme a mí mismo de la intuición.
Esto implica $$\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{g'(y)}{1-f'(x) g'(y)}$$ $$\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{1-f'(x) g'(y)}.$$
Por el teorema de la función implícita para sostener y esta solución sea válida, necesitamos $1-f'(x) g'(y)\neq0$.
Más en general, la forma en que esto funciona es la siguiente: escribir un sistema de ecuaciones cuyas raíces caracterizar el equilibrio:
$$F_1(\mathbf{x};a)=0,F_2(\mathbf{x};a)=0,\ldots,F_n(\mathbf{x};a)=0$$
(donde $a$ es el parámetro de interés). A partir de ellos, se construye el vector de valores de la función
$$\mathbf{F}(x)=[F_1(\mathbf{x};a),F_2(\mathbf{x};a),\ldots,F_n(\mathbf{x};a)]$$ que tiene la matriz Jacobiana $$\mathbf J = \frac{d\mathbf F}{d\mathbf x} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial F_n}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{bmatrix}.$$
Para calcular la derivada de $x_i$ respecto $a$, construimos la modificación de la Jacobiana en el que vamos a reemplazar el $i^{\text{th}}$ columna con la derivada RESPECTO de $un$ lugar de $x_i$. Así, por $x_1$ esto sería como $$\mathbf{J}_{x_1}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial un} & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_m}\\ \vdots & \vdots&\ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial F_n}{\partial un}&\dfrac{\partial F_n}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{bmatrix}.$$
La derivada de interés se calcula como $$\frac{\partial x_i}{\partial un}=\frac{-\det\mathbf{J}_{x_i}}{\det\mathbf{J}}.$$
Tenemos $\det\mathbf{J}\neq0$ por el teorema de la función implícita para ser válido.
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