Relación entre la volatilidad implícita y la histórica del GBPUSD y el USDGBP

Question

Q1. ¿Cómo es la volatilidad implícita de GBPUSD y USDGBP relacionados entre sí matemáticamente? Por favor, explique esto intuitivamente también.

Q2. ¿Cómo es el volatilidad histórica de GBPUSD y USDGBP relacionados entre sí entre sí matemáticamente?

My take ( Please correct if i am wrong):

"La Volatilidad Histórica o Volatilidad Realizada se calcula como la desviación típica de los rendimientos logarítmicos".

Sea S1, S2, S3...Sn el precio del GBPUSD en el momento t1, t2, t3 ....tn. Entonces, su rentabilidad sería Log(S2/S1), Log(S3/S2)....Log(Sn/Sn-1). Supongamos que la desviación típica de éstos es 1.

Ahora, el precio del USDGBP en el momento t1, t2, t3....tn sería 1/S1, 1/S2, 1/S3.....1/Sn. Por lo tanto, su rentabilidad logarítmica sería log(S1/S2), Log(S2/S3)....Log(Sn-1/Sn). Estos rendimientos tienen la misma magnitud que los del GBPUSD, pero el signo es opuesto. Por lo tanto, su desviación estándar seguiría siendo igual a 1.

Sobre la base de estos cálculos, ¿es justo suponer que la volatilidad histórica/liberada sería la misma para el GBPUSD y el USDGBP?

Answer 1

Utilizando las técnicas habituales de modelización de las divisas, supongamos que $\text{USDGBP}_t$ sigue el Movimiento Browniano Geométrico bajo la medida neutral al riesgo nacional, cuando la moneda nacional es el USD: $$d\text{USDGBP}_t=(r_{USD}-r_{GBP})\text{USDGBP}_tdt+\color{blue}{\sigma}\text{USDGBP}_tdW_t$$ $r_{USD}$ y $r_{GBP}$ son los tipos libres de riesgo del USD y de la GBP, respectivamente. Por el Lemma de Itô: $$\begin{align} d\text{GBPUSD}_t=d\left(\frac{1}{\text{USDGBP}_t}\right)&=-\frac{d\text{USDGBP}_t}{\text{USDGBP}_t^2}+\frac{(d\text{USDGBP}_t)^2}{\text{USDGBP}_t^3} \\ &=\frac{r_{GBP}-r_{USD}+\sigma^2}{\text{USDGBP}_t}dt-\frac{\sigma}{\text{USDGBP}_t}dW_t \end{align}$$ $W_t$ tiene la misma distribución que $-W_t$ por lo que definimos un nuevo movimiento browniano $\tilde{W}_t=-W_t$ : $$\begin{align} d\text{GBPUSD}_t&=\frac{r_{GBP}-r_{USD}+\sigma^2}{\text{USDGBP}_t}dt+\frac{\sigma}{\text{USDGBP}_t}d\tilde{W}_t \\ &=(r_{GBP}-r_{USD}+\sigma^2)\text{GBPUSD}_tdt+\color{blue}{\sigma}\text{GBPUSD}_td\tilde{W}_t \end{align}$$ Por lo tanto $\text{USDGBP}_t$ y $\text{GBPUSD}_t$ tienen la misma volatilidad implícita en teoría.

Answer 2

¡La correlación entre el USDGBP y el GBPUSD es de -1! Si su muestra y medición de la misma, realizada o implícita, pero sugiere <>-1, jour jargonistic problema es "Paradoja de Siegel" :-)

En términos logarítmicos, es decir, transformando los rendimientos para que sean aditivos, no hay diferencia. Suman cero.

En el caso de los implícitos, también se parte de rendimientos lognormales, por lo que éstos también (no normales) deben tener una media cero. No sea que haya arbitraje en ellos allí colinas....

Si pudiera darnos un ejemplo de incumplimiento de lo anterior, sería para mí un gran placer indicarle el camino hacia un almuerzo gratis... o encontrar el torpe sesgo en cuestión... con el algoritmo h9w para optimizar los beneficios si no puedo :-) I