El valor esperado de optimización estocástica

Question

Tengo un problema de optimización donde el SDE es:

$$dX(t) = [X(t) u(t)-\beta(t))+\theta(t)]dt+X(t)u(t)\sigma dW(t), t \[0,T], X(0) = X_0$$ donde $\beta(t)$ y $\theta(t)$ son funciones deterministas. He encontrado la solución de la SDE es la siguiente: $$X(t)=e^{\int_{0}^{t}(u(s)-\beta(s))ds}.[X_0+\int_{0}^{t}\theta(s).e^{-\int_{0}^{s}(u(z)-\beta(z))dz}ds+\sigma\int_{0}^{t}u(s).e^{-\int_{0}^{s}(u(z)-\beta(z))dz}dW_s]$$ He encontrado una relación entre el control de la $u(t)$ y $X(t)$, que es la siguiente: $$u(t)=k.\izquierda(1+\frac{\rho(t)}{X(t)}\right)$$ donde $\rho(t)$ es una función determinista y $k$ es una constante. Quiero demostrar que $u(t)$ es acotada. Por esta razón yo estaba tratando de hacer una relación de $u(t)$ con el valor esperado de $X(t)$. Uno de mis intentos fue a la hora de determinar si esta expresión es correcta: $$E[X(t)]=e^{\int_{0}^{t}(u(s)-\beta(s))ds}.[X_0+\int_{0}^{t}\theta(s).e^{-\int_{0}^{s}(u(z)-\beta(z))dz}ds]$$ alguna idea? (Espero que sea más claro ahora)

Answer 1

La expectativa es correcto, asumiendo la función de en frente de la Browniano es determinista. Es un resultado estándar en el cálculo estocástico que el valor esperado de la integral de una función determinista con respecto al movimiento Browniano es cero. Es posible que desee comprobar las propiedades de la integral estocástica, uno de los cuales es la propiedad que acabo de mencionar.