Es $\frac{P(t,S)}{P(t,T)}$ ¿Martingala?

Question

Supongamos que $r_t$ seguir el proceso del CIR y $P(t,T)=E[exp(-\int_{t}^{T}r_s ds)|F_t]$ .voy a mostrar $\frac{P(t,S)}{P(t,T)}$ ( $S<T$ ) es un $F_t$ -martingale bajo la Medida de Avance pero ¡Tan confundido! ¿Necesito resolver el proceso C.I.R.? ¿Debo usar la definición de martingala? ¡Por favor, guíeme! así que gracias.

Answer 1

Por definición del $T$ -medida anticipada $P_T$ El proceso $\Big\{\frac{P(t,S)}{P(t,T)} \mid t\geq 0\Big\}$ es una martingala bajo la medida $P_T$ sin asumir ningún modelo específico de la tasa corta $r_t$ . Es decir, esta propiedad de martingala es independiente del modelo.

Sin embargo, como un buen ejercicio, también puedes hacer lo siguiente:

1. Dado el modelo de tipo de interés CIR bajo la medida de riesgo neutral $P$ , calcula los precios de los bonos.

2. Encuentre la derivada de Radon-Nykodim de la $T$ -adelantada con respecto a la medida neutra de riesgo, es decir, $\frac{dP_T}{dP}\big|_t$ , para $0 \leq t \leq T$ .

3. Encuentre la fórmula del precio del bono o SDE bajo la $T$ -Medida de avance.

4. Demuestre que el proceso $\Big\{\frac{P(t,S)}{P(t,T)} \mid t\geq 0\Big\}$ es una martingala bajo la $T$ -Medida de avance.

Answer 2

Suponemos que $\mathbb{Q}$ es una medida de avance. $$\mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}_s\right]=\mathbb{E^P}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}\frac{e^{-\int_{s}^{T}r_u\,du}}{P(s,T)}\,|\,\mathcal{F}_s\right]$$ $$\hspace{5cm}=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{e^{-\int_{s}^{T}r_u\,du}}\,|\,\mathcal{F}_s\right]$$ $$\hspace{6.9cm}=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[\mathbb{E^P}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{e^{-\int_{s}^{T}r_u\,du}}\,|\,\mathcal{F}_t\right]|\mathcal{F}_s\right]$$ tenemos $$\hspace{0.3cm}\mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}_s\right]=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int_{s}^{t}r_u\,du}}\frac{P(t,S)}{P(t,T)}\mathbb{E^P}\left[e^{-\int_{t}^{T}r_u\,du\,}\,\,|\,\mathcal{F}_t\right]|\mathcal{F}_s\right]$$ $$\hspace{1.5cm}=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int_{s}^{t}r_u\,du}}\frac{P(t,S)}{P(t,T)}P(t,T)|\mathcal{F}_s\right]$$

$$=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int_{s}^{t}r_u\,du}}P(t,S)|\mathcal{F}_s\right]$$ entonces $$\mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}_s\right]=\frac{1}{P(s,T)}{e^{\int_{0}^{s}r_u\,du}}\,\,\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int_{0}^{t}r_u\,du}}P(t,S)|\mathcal{F}_s\right]$$ conocemos el proceso de descuento del precio de los bonos $\{e^{-\int_{0}^{t}r_u\,du}P(t,S)\}$ es una martingala bajo $\mathbb{P}$ por lo que tenemos $$\hspace{1cm}\mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}_s\right]=\frac{1}{P(s,T)}{e^{\int_{0}^{s}r_u\,du}}{e^{-\int_{0}^{s}r_u\,du}}P(s,S)$$ $$=\frac{P(s,S)}{P(s,T)}$$

$$$$ EDITAR: Alternativa, \begin {align*} \mathbb {E^Q} \left [ \frac {P(t,S)}{P(t,T)} \mid \mathcal {F}_s \right ] &= \frac {1}{P(s,T)} \mathbb {E^P} \left [{e^{- \int_ {s}^{t}r_u\,du}}P(t,S) \mid\mathcal {F}_s \right ] \\ &= \frac {1}{P(s,T)} \mathbb {E^P} \left [{e^{- \int_ {s}^{t}r_u,du}} \mathbb {E^P} \Big (e^{- \int_t ^Sr_u,du} \mid \mathcal {F}_t \Big ) \mid\mathcal {F}_s \right ] \\ &= \frac {1}{P(s,T)} \mathbb {E^P} \left [ \mathbb {E^P} \Big (e^{- \int_s ^Sr_u,du} \mid \mathcal {F}_t \Big ) \mid\mathcal {F}_s \right ] \\ &= \frac {1}{P(s,T)} \mathbb {E^P} \left [e^{- \int_s ^Sr_u,du} \mid\mathcal {F}_s \right ] \\ &= \frac {P(s,S)}{P(s,T)}. \end {align*}