¿Debe cambiar la ratio de Sharpe de una cartera cuando está apalancada?

Question

Intento comprender por qué cambia (aumenta) el ratio de Sharpe cuando simulo apalancar mi cartera multiplicando todas las series temporales de rendimientos diarios por un factor de apalancamiento (por ejemplo, 5).

Entiendo que el ratio de Sharpe no debería cambiar cuando una cartera está apalancada (en igualdad de condiciones).

Sin embargo, me parece que el ratio de Sharpe anualizado (calculado geométricamente con la fórmula: return = (product of 1+ daily returns ^ (262/number of returns))-1 , stdev = stdev(returns)*(sqrt(262)) deos aumento (por ejemplo, de 3,1 a 4,3).

Sin embargo, el ratio de Sharpe diario (calculado como la media aritmética de los rendimientos dividida por la desviación típica) sigue siendo idéntico (matemáticamente idéntico).

Asumo un tipo sin riesgo cero, por lo que el Sharpe es simplemente la rentabilidad dividida por stdev .

Seguro que es algo obvio, pero ¿alguien puede explicar por qué?

Answer 1

Supongamos:

• un tipo constante sin riesgo $r$
• un activo de riesgo con rendimientos $X$
  • con valor esperado $\mathbb{E}(X)=\mu_X$
  • y varianza $\text{Var}(X)=\sigma_X^2$
• una cartera de inversión $w$ en el activo de riesgo y $(1-w)$ en el activo sin riesgo

A continuación, puede calcular el valor esperado de la cartera:

$$\mu_P = \mathbb{E}(P) = w \mu_X + (1-w)r$$

y varianza

$$\sigma_P^2 = \text{Var}\left[wX + (1-w)r\right] = w^2\sigma_X^2$$

Si utiliza la definición de Ratio de Sharpe lo has hecho:

$$\text{Sharpe}(P) = \frac{\mu_P - r}{\sigma_P} = \frac{w (\mu_X - r)}{w \sigma_X} = \frac{\mu_X - r}{\sigma_X}$$

Claramente, el peso $w$ se simplifica y desaparece en el cálculo de Sharpe, lo que significa que el ratio de Sharpe sigue siendo el mismo. $\forall w$ .

Sin embargo, esto supone que la media se estima como:

$$\hat{\mu}(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n r_{X,i}$$

y en particular:

$$\hat{\mu}(wX) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n wr_{X,i} = w \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n r_{X,i} = w \hat{\mu}_X$$

lo cual está bien.

Sin embargo, lo que está haciendo es

$$\hat{\mu}(X) = \left(\prod_{i=1}^n 1 + r_{X,i}\right)^{\frac{1}{N}}$$

y en particular

$$\hat{\mu}(wX) = \left(\prod_{i=1}^n 1 + wr_{X,i}\right)^{\frac{1}{N}} \neq w\hat{\mu}(X)$$

Por lo tanto, no se está calculando el valor esperado en sentido estricto, por lo que en realidad no se está calculando una ratio de Sharpe. Además, su versión pierde la propiedad de ser independiente de $w$ .

Mucha gente utiliza el mismo enfoque en el sector, pero es justo decir que no es la definición exacta del Sharpe.