2 Jugador De Todos-Pago De Subastas

Question

Considere la posibilidad de un 2 jugador de todos-pago de la subasta, la licitación por $1.

Cada uno presenta una oferta que es un número real, por lo tanto $S_i=[0,\infty)$. El jugador con una oferta más alta gana $1, pero ambos jugadores deben pagar la presentación de la oferta.

Reproductor de $i$'s de la rentabilidad de la función es:

$v_i(s_i,s_{j})=$

$-s_i$ si $s_i<s_{j}$

($\frac{1}{2}-s_i$) si $s_i=s_{j}$

($1-s_i$) si $s_i>s_j$.

Supongamos que jugador $j$ desempeña una estrategia mixta en la que ella es uniformemente la elección de una puja entre 0 y 1.

Sólo estoy interesado en el beneficio esperado de jugador de $i$'s de ofertas a menos de 1, porque si $s_i$>1, que él iba a ganar, pero también incurre en una negativa de pago.

Mi pregunta:

¿Por qué es Pr$(s_i=s_j)$=0 para cualquier $s_i\in[0,1]$ si el jugador $j$'s estrategia mixta es U[0,1]?

Mi confusión es: el PDF de jugador $j$ es 1 para cualquier $s_j\en(0,1)$. Así que si sólo considerar $s_i<1$ y Pr$(s_i=s_j)$, ¿cómo puedo justificar que se convierte en $0$?

Answer 1

Esto parece como una cuestión básica acerca de la probabilidad de cálculo/teoría.

La intuición detrás de la distribución uniforme de más de $[a,b]$ es que todos los resultados entre y $a$ y $b$ son igualmente probables. Debido a esto, uno puede obtener un alcance intuitivo acerca de la probabilidad de que el resultado $x$ se cae en un subinterval $[a_1,b_1] \subconjunto de [a,b]$. Como la proporción de su longitud es $$ \frac{b_1 - a_1}{b}, $$ el subinterval $[a_1,b_1]$ incluye $(b_1 - a_1)/(b-a)$ participación de todos los puntos en $[a,b]$. Cada punto es igualmente un resultado probable, por lo tanto $$ P\left(x \in [a_1,b_1]\right) = \frac{b_1 - a_1}{b}. $$ Un problema surge si el subinterval es, de hecho, un único punto, $a_1$. ¿Qué es $P\left(x \in \left\{a_1\right\}\right)$?
Por lo anterior razonamiento intuitivo $$ P\left(x \in [a_1,a_1]\right) = \frac{a_1 - a_1}{b - a} = 0. $$ Un enfoque más riguroso:
Nos deja denotar esta probabilidad P $\left(x \in \left\{a_1\right\}\right)$ en $\alpha$. Como la distribución es uniforme, todos los puntos tienen la misma probabilidad de los resultados y, por tanto, para cualquier $a_i \in [a,b]$, tenemos $$ P\left(x \in \left\{a_i\right\}\right) = \alpha. $$ Hay infinitamente muchos (discontinuo) puntos en $[a,b]$. Deje que $A$ ser un conjunto arbitrario de un número infinito de puntos, que es $$ A = \bigcup_i^{\infty} a_i. $$ Entonces como probabilidad es sigma aditivo sobre distintos conjuntos de $$ P\left(x \in A \derecho) = P\left(x \in \bigcup_i^{\infty} a_i \derecho) = \sum_i^{\infty} P\left(x \in \left\{a_i\right\}\derecho) = \sum_i^{\infty} \alpha. $$ Sin embargo, como $A \subseteq [a,b]$, P $\left(x \in A \derecho) \leq 1$. Pero para cualquier $\alpha > 0$ la suma de $\sum_i^{\infty} \alpha$ sería infinito. Por lo tanto $\alpha$ no puede ser positivo, cero.