Simulación del movimiento browniano con saltos

Question

Estoy intentando mejorar mi comprensión de los procesos de salto.

Como primer paso, quiero simular trayectorias de muestra para el proceso $$dX(t) = dw(t) + dJ(t)$$ donde $dw(t)$ es un movimiento browniano y $dJ(t)$ es un proceso Poisson compuesto con intensidad $\lambda = 5$ y $\mathcal{D} = \mathcal{N}(0,1)$ . ¿Puede alguien verificar que el razonamiento de mi código de Mathematica es correcto?

T = 10;
n = 1000;
dt = T/n;
lambda = 5;
dw = RandomVariate[NormalDistribution[0, Sqrt[dt]], n];
dJ = Table[
   If[RandomVariate[BernoulliDistribution[lambda dt]] == 0, 0, 
RandomVariate[NormalDistribution[]]], {i, 1, n}];
dX = dw + dJ;
BrownianJumpPath = Accumulate[Prepend[dX, 0]];
ListLinePlot[BrownianJumpPath, Frame -> True]

Answer 1

Lo que haces es:

• Simulas una trayectoria Browniana - con la desviación estándar correcta.
• A continuación se simula el proceso Poisson compuesto. En cada paso de tiempo se muestrea si hay salto o no y el tamaño del salto si lo hay. En cada paso de tiempo se extrae de una distribución Bernoulli - que es a mi conocimiento sólo una aproximación.

Para el proceso de Poisson compuesto seguiría el Algoritmo 6.2 del libro de Tankov y Cont. Los pasos son:

• simular $N$ con intensidad $\lambda T$ ... el número de saltos durante el intervalo de $[0,T]$ .
• Simule $N$ uniformes distribuidos uniformemente (independientes de $N$ ) distribuidos uniformemente en $[0,T]$ - los tiempos de salto.
• A continuación, simula los tamaños de salto en cada tiempo de salto y súmalos en el tiempo de salto.