Caminata aleatoria normal con incrementos de n períodos de tiempo ¿por qué el incremento de $\sqrt{(t/n)}$?

Question

La pregunta es, básicamente, en el título. He encontrado varias fuentes que indica que $R_i = \sqrt{\frac{t}{n}}$, pero no pude encontrar la intuición detrás de tomar la raíz cuadrada. Y parece ser crucial, ya que $\operatorname{E}\left[{R_i^2}\right]= \frac{t}{n}$ y a partir de ahí se derivan de la varianza del movimiento Browniano como $t$.

Answer 1

Creo que no fui claro en mi comentario para que me voy a poner en una respuesta para tener más espacio. La varianza de un movimiento browniano, z, es $t$. (me.e: $E(z^{2}) = t$ ). Observe que $R_{i}$ en realidad es igual a $\sqrt{\frac{t}{n}} \times \epsilon$ donde $\epsilon \sim N(0,1)$. Creo que salen los $\epsilon$ porque la varianza es 1, pero mostrando la consistencia es más clara si queremos definir de esa manera.

Por definición, el movimiento browniano se define como la suma de un montón de caminos aleatorios como el tamaño del paso se va a cero. Así que, dada la definición de $R_{i}$, que terminan con la varianza de la suma, ser $\sum_{i = 1}^{n} \frac{t}{n} = n \times \frac{t}{n} = t$. Por lo tanto, en el límite, la suma de los n paseo aleatorio es consistente con el movimiento browniano como el tamaño del paso se va a cero debido a que el valor esperado todavía es cero y la varianza es $t$.

Answer 2

Mi intuición es que el término $\sqrt{dt}$, es el resultado de un Movimiento Browniano de las propiedades. Variación Total del Movimiento Browniano es ilimitado y por lo tanto $TV \to \infty$. Sin embargo, la Variación Cuadrática es limitado y $QV \t$