derivación de la fórmula general black-scholes

Question

Me gustaría encontrar una derivación para la fomrula Black-Scholes en el caso general (es decir, cuando la función de volatilidad $\sigma : [0,T] \to \mathbb{R}^+$ y la tasa de inversión $r: [0,T] \to \mathbb{R}^+$ son funciones deterministas continuas de $t$ y su estrategia de replicación asociada.

Sé que por constante $\sigma, r$ la fórmula de Black-Schole es $C_t = c(S_t, T-t) = S_tN(d_1(S_t, T-t)) - Ke^{-r(T-t)}N(d_2(S_t, T-t))$ donde $N$ es la FCD gaussiana estándar y $d_{1,2}(S_t, T-t) = \frac{\ln(S_t/K) + (r\pm \sigma^2)t}{\sigma\sqrt{T-t}}$ y la estrategia de replicación, $\phi$ satisface $\phi_t^1 = \partial_{s}c(S_t, T-t), \phi_1^2 = e^{-rt}(c(S_t, T-t) - \phi_t^1 S_t)$

Pasemos ahora al caso general. Sabemos que bajo la medida neutral al riesgo $\mathbb{P}^*$ , $S$ satisface $dS_t = r(t)S_t dt + \sigma(t) S_t dW_t^*$ donde $W_t^*$ es un movimiento browniano bajo $\mathbb{P}^*$ y esto tiene la solución única $$S_t = S_0 \exp \left(\int_0^t \sigma(u) dW_u^* + \int_0^t (r(u) - \frac{1}{2}\sigma^2(u)) du \right)$$

Ahora, utilizando la fórmula de riesgo neutro, sabemos que el precio de la opción de compra europea satisface $$C_t = e^{-\int_t^Tr(u)du}E_{\mathbb{P}^*}((S_T - K)^+ | \mathcal{F}_t)$$ ¿Cómo utilizo esto combinado con mi fórmula para $S_t$ para obtener la fórmula generalizada? Además, ¿tendría razón al afirmar que la estrategia de réplica generalizada es la misma?

Answer 1

\begin{align} S_t &= S_0 \exp \left(\int_0^t \sigma(u) dW_u^* + \int_0^t \left(r(u) - \frac{1}{2}\sigma^2(u)\right) du \right) \\ &= F(0,t) \mathcal{E}\left( \int_0^t \sigma(u) dW_u^* \right) \end{align} Si dejamos que $$\mathcal{E}(X_t) := \exp\left(X_t - \frac{1}{2}\langle X \rangle_t\right) $$ la exponencial de Doléans Dade de un proceso $(X_t)_{t \geq 0}$ y $$F(0,t) := \Bbb{E}_0^*\left[S_t \right] = S_0 \exp \left(\int_0^t r(u) du\right)$$ representan el precio a plazo subyacente.

En cualquier caso, observa que $\forall T \geq 0$ , $S_T$ tiene una distribución lognormal, ya que $$ \ln(S_T) \sim N \left( \ln \left(F(0,T)\right) - \frac{1}{2}\int_0^T \sigma^2(u) du, \int_0^T \sigma^2(u) du \right) $$ que deberías comparar con el resultado tradicional de Black-Scholes $$ \ln(S_T) \sim N \left( \ln \left(F(0,T)\right) - \frac{1}{2}\sigma_{BS}^2 T, \sigma_{BS}^2 T\right) $$ lo que significa que puede tratar este nuevo caso como el estándar con una volatilidad "BS" equivalente dada por $$\hat{\sigma}_T := \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2(u) du }$$

Repitiendo los pasos habituales se llega a la conclusión de que la norma $d_\pm$ de la fórmula BS original deben sustituirse por sus equivalentes dependientes del tiempo $$ d_\pm(T) = \frac{ \ln\left(\frac{F(0,T)}{K}\right) \pm \frac{1}{2}\hat{\sigma}_T^2 T}{\hat{\sigma}_T \sqrt{T}} $$ donde