Cómo entender aleatoria/proceso aleatorio en Shreve libro?

Question

He estado leyendo el Capítulo 4 de Shreve del Cálculo Estocástico para Finanzas II. Es fácil entender el proceso simple, $\Delta(t)$, que se define en la Página 126, que es sólo una constante dentro de un determinado subinterval.

Más tarde en el Ejercicio 4.2 y 4.3, se menciona de nuevo. El proceso de $\Delta(t)$ es simple y no aleatoria en los puntos 4.2, mientras que es simple, pero al azar en 4.3.

¿Cómo debo entender la aleatoriedad de este proceso?

Yo sólo soy un principiante de matemáticas financiera. Gracias de antemano! Buena referencia también será apreciada!

Answer 1

Gracias por todos responder a mi pregunta!

Aquí está mi comprensión. Si un proceso $\Delta(t)$ es aleatoria, entonces uno podría decir lo que los valores serán para todo el tiempo $t$ cuando uno está de pie en $t=0$. Por otro lado, si el proceso es aleatorio, entonces uno está en $t=0$ él no puede ver nada en el futuro.

Por otra parte, la aleatoriedad de un simple proceso son cruciales cuando se tiene la expectativa sobre ella. Decir, un proceso simple $\Delta(t)$ es aleatoria, entonces uno podría sacar de lo que se conoce $E(\Delta(t))=\Delta(t)$. La regla no si el proceso es aleatorio.

Answer 2

$\Delta(t)$ es simplemente el cambio en el valor del proceso en el intervalo de $t$ $t+1$. Si el cambio en el valor del proceso durante este intervalo es determinista, entonces usted puede llamar proceso $\Delta(t)$ como aleatoria. Supongamos, el cambio en el precio de los bonos $(B_t)$ rige por la siguiente ecuación: $$dB_t=rB_t dt$$ Si $r$ es constante, entonces no hay incertidumbre en el cambio en el precio de los bonos.

Ahora, supongamos que el precio de la acción $(S_t)$ de la siguiente manera geométrica el movimiento Browniano y satisfacer los siguientes SDE: $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$ donde, $W_t$ es el proceso de Wiener. Aquí, el cambio en el precio de las acciones no es constante, sino al azar de la unidad.

Answer 3

Para ponerlo simplemente, $\Delta(t)$ es el cambio en el precio de las acciones en un pequeño intervalo. Decir, si se mide el stock de cada minuto. El valor de tus acciones es una variable aleatoria, porque no sé donde va a terminar con. La aleatoriedad cada minuto se puede observar sería de $\Delta(t)$.