Probabilidad logarítmica de la distribución skew-t

Question

Estoy tratando de estimar Modelos GARCH con el uso de la distribución skew-t de Hansen (1994). Estoy utilizando el programa de matlab Caja de herramientas ARMAX-GARCH-K , donde el log-likelihood se calcula como:

 lamda = parameters(end-1);
 nu = parameters(end);
 c = gamma((nu+1)/2)/(sqrt(pi*(nu-2))*gamma(nu/2));
 a = 4*lamda*c*((nu-2)/(nu-1));
 b = 1 + 3*lamda^2 - a^2;
 indicator1 = ((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t))<-a./b);
 indicator2 = ((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t))>=-a./b);
 likelihoods1 = log(b) + log(c) - ((nu+1)./2).*log(1+1./(nu-2).*((b.*indicator1.*((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t)))+a)./(1-lamda)).^2);
 likelihoods2 = log(b) + log(c) - ((nu+1)./2).*log(1+1./(nu-2).*((b.*indicator2.*((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t)))+a)./(1+lamda)).^2); 
 likelihoods = - 0.5*log(h(t)) + indicator1.*likelihoods1 + indicator2.*likelihoods2;

donde data(t) es sinónimo de devoluciones, mu(t) es la media del modelo GARCH, h(t) es la varianza del modelo GARCH y parameters son los parámetros del modelo GARCH. La función completa para calcular la log-verosimilitud se puede encontrar aquí (ver sin abrir matlab): https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/32882-armax-garch-k-toolbox--estimation--forecasting--simulation-and-value-at-risk-applications-/content/garchlik.m

Y la distribución se define como en el siguiente documento de la página 6: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/papers/ier_94.pdf

Tengo dos preguntas: 1. Parece que falta el cuadrado por el parámetro b, así que después de definir b debería tomar valores iguales a sqrt(b). ¿Es eso correcto? 2.¿Dónde está el término - 0.5*log(h(t)) en likelihoods ¿de dónde viene? Ya que no aparece en la función pdf de la distribución skew-t.

Agradecería cualquier ayuda :)

Answer 1

1- Me parece que hay un problema en el código original la variable b debería estar definida como b= sqrt(1 + 3*lamda^2 - a^2)

2- La probabilidad se define justo después de la ecuación 8. en el papel. Hay que tener en cuenta la $ \frac{1}{\sigma}$ plazo (en $ \frac{1}{\sigma} \times g(..) $ , es decir, para escalar la densidad) . Por lo tanto, el - 0.5*log(h(t)) se refiere a esta parte.

Explicación :

Probabilidad:

$= \frac{1}{\sigma} \times g(..) $

Log-Likelihood :

$ = log(\frac{1}{\sigma})+log( g(..)) $

$ = log(1)-log(\sigma) +log( g(..)) $

$ = 0 - log( \sqrt{ \sigma^{2}}) +log( g(..))$

$ = - log\left( (\sigma^{2})^{0.5}\right) +log( g(..))$

$= -0.5 \times log(\sigma^{2}) +log( g(..))$

Los primeros términos de la ecuación anterior se refieren al - 0.5*log(h(t)) parte.