Probabilidad condicional - Movimiento browniano geométrico

Question

Antecedentes

Estoy tratando de encontrar una forma de cotizar una variante de una opción gap utilizando expresiones de cierre. Lo que hace que esta opción sea un poco complicada es que se puede ejercer en cuatro fechas predeterminadas (t=1, 2, 3, 4) y que el strike/la barrera de ejercicio, H, aumenta en cada periodo. Por otra parte, el precio de ejercicio que determina la cuantía de la retribución, K, es tan pequeño en comparación con el valor del activo subyacente que siempre será óptimo ejercer la opción antes de tiempo, lo que simplifica un poco la fijación de precios.

Pregunta

En este sentido, necesito estimar la probabilidad (neutral al riesgo) de que la opción esté dentro del dinero en t=2 suponiendo que está fuera del dinero en t=1, y además estimar la probabilidad de que la opción esté dentro del dinero en t=3 suponiendo que está fuera del dinero tanto en t=1 como en t=2, etc. Suponiendo que el activo subyacente sigue un movimiento browniano geométrico en el que su precio en t puede escribirse como

$S_t = S_0e^{(\alpha-\delta-0.5\sigma^2)t+\sigma\sqrt{t}z}$

Utilizando la fórmula de Black-Scholes, la probabilidad de que la opción esté dentro del dinero puede estimarse como N(d2).

¿Cómo puedo estimar la probabilidad de que la opción esté in-the-money en t=3, suponiendo que está out-of-the-money en t=1 y t=2? ¿Y estimar además la probabilidad de que la opción esté in-the-money en t=4 suponiendo que está out-of-the-money en t=1, t=2 y t=3?

Answer 1

Una forma de obtener muchas probabilidades neutrales al riesgo multiperíodo relacionadas con los procesos geométricos de movimiento browniano es utilizar la función de valoración para binarios de orden superior. Estos contratos son casos especiales de los multiperiodos multiactivos $\mathbb{M}$ -binarias introducidas por Skipper y Buchen (2003)

Definición

El tiempo $T_n$ valor terminal de un $n$ -binario de enlace de orden es dado por

\begin {Ecuación} \mathcal {B}_{ \xi_1 , \xi_2 , \ldots , \xi_n }^{s_1, s_2, \ldots s_n} \left ( S_{T_1}, S_{T_2}, \ldots S_{T_n}, T_n \right ) = \prod_ {i = 1}^n \mathrm {1} \left\ { s_i S_{T_i} > s_i \xi_i \right\ }. \end {Ecuación}

Es decir, este contrato tiene un pago unitario condicionado a los precios de los activos en todo momento $T_i$ estando por encima de ( $s_i = 1$ ) o por debajo ( $s_i = -1$ ) los niveles $\xi_i$ respectivamente. Su tiempo $0 \leq t < T_1$ viene dado por

\begin {Ecuación} \mathcal {B}_{ \xi_1 , \xi_2 , \ldots , \xi_n }^{s_1, s_2, \ldots s_n} \left ( S_t, t \right ) = e^{-r \tau_n } \mathcal {N}_n \left ( \mathbf { \alpha }_-; \mathbf {C} \right ), \end {Ecuación}

donde $\tau_i = T_i - t$ y $N_n(\mathbf{x}; \mathbf{C})$ es el $n$ -función de distribución acumulativa normal variable evaluada en $\mathbf{x}$ y con la matriz de correlación $\mathbf{C}$ . Los elementos de $\mathbf{\alpha}_-$ vienen dadas por

\begin {Ecuación} \alpha_ {-, i} = \frac {s_i}{ \sigma \sqrt { \tau_i }} \left ( \ln \left ( \frac {S}{ \xi_i } \right ) + \left ( r - \delta - \frac {1}{2} \sigma ^2 \right ) \tau_i \right ) \end {Ecuación}

y

\begin {Ecuación} \mathbf {C}_{i, j} = s_i s_j \sqrt { \frac { \min \s_i, s_j \max \{ s_i, s_j \}}. \end {Ecuación}

Probabilidad conjunta

Utilizando estos resultados, se obtiene la probabilidad conjunta de $S_{T_n}$ estar por encima de $K_n$ y cada $S_{T_i}$ estando por debajo de $K_i$ para $i \in \{ 1, 2, \ldots, n - 1 \}$ como

\begin {Ecuación} \mathbb {P} \left\ { S_{T_n} > K_n, S_{T_i} < K_i \N -; \forall \N - i < n \right\ } = e^{r \tau_n } \mathcal {B}_{K_1, K_2, \ldots K_n}^{-, -, \ldots , +} \left ( S_t, t \right ). \end {Ecuación}

A partir de ahí, se puede calcular la probabilidad condicional.

Referencias

Buchen, Peter W. (2001) "Image Options and the Road to Barriers", Risk Magazine, Vol. 14, No. 9, pp. 127-130

Skipper, Max y Peter W. Buchen (2003) "The Quintessiential Option Pricing Formula", Documento de trabajo, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney