Estimación de Riesgo-Neutral de la Varianza de los Rendimientos

Question

Estoy tratando de encontrar un método que me permite estimado de $Var_{\mathbb{Q}}\left(\frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_i}}\right)$ donde $$ S denota el precio de proceso de una acción subyacente (que tiene que ser asumida para ser estacionaria) y $\mathbb{Q}$ debe ser el riesgo-neutral (los precios) de la medida. Una primera aproximación podría confiar en que el Breeden-Litzenberger (1978), resultado que permite calcular distribuciones marginales de $\mathbb{Q}$ mediante la observación de los precios de los vestidos de opciones de vainilla y mediante el uso de: $$ Var_{\mathbb{Q}}\left(\frac{S_{t_{i+1}}}{S_{t_i}}\right)= \mathbb{E}_\mathbb{Q}\left[\frac{1}{S_{t_i}^2}\mathbb{E}_\mathbb{Q}[S_{t_{i+1}}^2|S_{t_i}]\derecho]-1. $$ Siguiente, me sale $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[S_{t_{i+1}}^2|S_{t_i}]$ por observaciones de la opción de los precios en vez de $t_i$. El valor de $\mathbb{E}_\mathbb{Q}\left[\frac{1}{S_{t_i}^2}\right]$ puede ser calculada similares mediante el uso de estacionariedad. Sin embargo, yo no estoy satisfecho con este enfoque. Cuando se habla de estimaciones voy a enfrentar el problema de que estas estimaciones se realizan en virtud de la medida física. ¿Alguien sabe de un enfoque allowin para la estimación de la varianza de los retornos bajo el riesgo-neutral medida?

Emocionado acerca de sus ideas, Terano

Answer 1

Acabo de probar (no estoy seguro de que he entendido bien la pregunta).

Voy a suponer que los dolores de riesgo neutral dinámica de $S_t$: $$ dS_t = rS_t dt + \sigma S_tdW_t $$ de modo que $\forall T>t$ tenemos:

$$ S_T = S_te^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t) + \sigma W_{T t}} $$

En este punto, el cálculo es muy fácil y sencillo.

$$ \mathbb{E}\left[ \frac{S_T}{S_t}\derecho] = e^{r(T-t)} $$

$$ \begin{align} \mathbb{E}\left[ \frac{S^2_T}{S^2_t}\derecho] &= \mathbb{E}\left[ e^{(2r - \sigma^2)(T-t) + 2\sigma W_{T t}}\right] \\ & = e^{(2r - \sigma^2)(T-t)} \mathbb{E}\left[ e^{2\sigma W_{T t}}\right] \\ & = e^{(2r - \sigma^2)(T-t) + 2\sigma^2(T-t)}\\ & = e^{2r(T-t) + \sigma^2(T-t)} \end{align} $$

por lo que obtenemos:

$$ Var\left( \frac{S_T}{S_t}\derecho) = e^{2r(T-t) + \sigma^2(T-t)} - e^{2r(T-t)} = e^{\sigma^2(T-t)} $$

Este es el resultado general. Por supuesto, si ponemos $T = t_{i+1}$ y $t = t_i$ obtenemos el resultado que estábamos buscando.

Answer 2

Vamos que me tire un poco de agua en su objetivo y cualquier prueba interesante. Para mi artículo sobre este, lo puedes encontrar en:

Harris, D. E. (2017), La Distribución de los Rendimientos. Diario de Matemáticas de Finanzas, 7, 769-804

Tratemos de usar incluso más débil de la hipótesis de que su suposición de que $S_t,\forall{t}$ es estacionaria. Vamos a utilizar más Markowitz estilo de supuestos.

Nuestra primera suposición es que hay muchos compradores y muchos vendedores. Normalmente esto es para motivar a la ausencia de costos de liquidez, pero vamos a cambiar la finalidad de que como tiene otras consecuencias que nadie se dio cuenta.

Las existencias se venden en una doble subasta. Debido a esto, no hay ningún ganador de la maldición. Como consecuencia, el comportamiento racional es la oferta de su expectativa. Con muchos compradores y muchos vendedores de licitación con sus expectativas, el límite libro convergen a la normal, de modo que a medida que el número de ofertas que se convierte en lo suficientemente grande, en el límite libro será distribuido normalmente.

También podríamos suponer que los precios de las acciones provienen de una distribución normal. La debilidad de esa suposición es que no cubre cosas tales como las subastas de Christie's, que están sujetos a la maldición del ganador. Ver el artículo por la solución a ese problema.

Por lo tanto, vamos $R_t=\frac{S_{t+1}}{S_T}$. Vamos a llamar a esta la recompensa por invertir. Restando uno hace el retorno sobre la inversión. Vamos a ignorar los $-1$ ya que no cambia nada y es sólo un poco de trabajo extra.

Ahora la pregunta es ¿cuál es la distribución de $R_t$ como $S_t,S_{t+1}$ son datos reales, mientras que $R_t$ no es de datos, sino más bien una estadística; es decir, es una función de los datos.

Como es bien sabido, a partir de Curtis en:

Curtiss, J. H. (1941) Sobre la Distribución del Cociente de Dos de Probabilidad de las Variables. Anales de la Estadística Matemática, 12, 409-421,

la solución a cualquier tipo de relación de variables aleatorias continuas, donde $Z=\frac{Y}{X}$ es $$p(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,zx)\mathrm{d}x$$ Para las variables normalmente distribuidas que están en equilibrio, la solución es muy bien conocida y se va de regreso en diversas formas a Fermat y Cardano como $$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(z-\mu)^2}.$$

Hay una suposición de que permite infinitamente rendimientos negativos. Si usted restringir el dominio de la constante de integración cambios de $$\pi^{-1}$$ a $$\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\derecho)\derecho)^{-1}.$$

Para nuestros propósitos, la constante de integración no importa, a pesar de que va a crear un grave error en la estimación si se te cae en el mundo real.

La anterior distribución es famoso por una variedad de razones. Cuando Laplace primer envió a su prueba más de lo que ahora llamamos el "teorema del límite central" a su ex-estudiante de Poisson, de Poisson devuelve la prueba a él con una excepción cuando la regla es. Esto no lleva a cabo cuando la distribución es como el anterior. A partir de esa observación, cuando la distribución está presente, entonces usted no puede usar cosas como la de un t-test, pruebas de F y así sucesivamente, sujeto a la calificación que a medida que el tamaño de la muestra excede de 100, la prueba de t funcionará si lo tienes a un solo grado de libertad.

Usted puede encontrar una discusión de esto en:

Fama, E. F. and Roll, R. (1968). Algunas propiedades de los simétrica estable distribuciones. Revista de la Asociación Americana de Estadística, 63(323): pp 817-836.

Sin embargo, la Fama y el Rollo de discusión no se aplica para el caso de la limitación de responsabilidad a $-100%$. Estoy construyendo una discusión por separado para aquellos que en otro papel.

La próxima aparición de esta distribución es en una batalla entre Augustin Cauchy y Irénée-Jules Bienaymé. Augustin Cauchy había producido un método de regresión en un artículo de revista. Bienaymé producido un artículo en el que mostraban que la de mínimos cuadrados ordinarios fue la "mejor" manera de hacer la regresión. Cauchy tomó esto como un ataque personal y luego se fue a trabajar para determinar cuando OLS SIEMPRE se producirá un error con una probabilidad de 1.

Siempre que la distribución está presente, OLS producirá puramente resultados incorrectos. La razón es que la anterior distribución, la cual ha adquirido el apodo de "la distribución de Cauchy," no significa por lo tanto no puede tener una variación.

Mientras que el valor principal de Cauchy es de $\mu$, superior momentos no existen, incluso sobre el valor principal de Cauchy. La segunda raw momento es infinito o no existir, dependiendo de cómo se define la integral.

En cuanto a la estimación del parámetro de escala de devoluciones, usted no puede usar un método Bayesiano. No existe una evaluación imparcial y admisible Frecuentista estimador para datos reales. He calculado el parámetro de escala para todos los desglosados valores de renta variable en otro papel, pero para uno de seguridad, lo que debe hacer es resolver: $$\Pr(\sigma|\mathbf{R},\mu)=\int_{-\infty}^\infty\frac{\prod_{i=1}^n{\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}}\frac{\sigma}{\sigma^2+(R_i-\mu)^2}\Pr(\mu;\sigma)}{\int_0^\infty\int_{-\infty}^\infty{\prod_{i=1}^n{\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}}\frac{\sigma}{\sigma^2+(R_i-\mu)^2}\Pr(\mu;\sigma)}\mathrm{d}\sigma\mathrm{d}\mu}\mathrm{d}\mu.$$

La parte posterior de la densidad de $\sigma$ se porta bien. Si usted necesita un punto de estimación, se puede minimizar una función de costo sobre la densidad. Usted aún debe ser capaz de utilizar cuadrática pérdida, ya que, por una suficientemente plana antes, la parte posterior de la densidad debe converger a la relación de la distribución de dos desviación estándar de las distribuciones. No he tomado el tiempo para demostrar que, sin embargo. Es posible que no sea cierto, pero debe ser como $\sigma$ es el cociente de la desviación estándar de $S_{t+1}$ y la desviación estándar de $S_t$.

Usted desea restringir sus probabilidades previas, $\Pr(\mu\sigma)$ para la adecuada priores como no he encontrado generalizada de Bayes reglas en la literatura para la truncado caso y no hay ninguna razón para creer que la parte posterior se porta bien en virtud de la distribución conjunta de $(\mu\sigma)$ con un uniforme o la indebida antes.

A partir de este, debe ser suficiente para argumentar que la media de la varianza de finanzas no puede existir. En consecuencia, cualquier $\beta$ de estilo modelo de datos raw no es válido. En el-registro de los datos transformados, es sospechoso como la probabilidad de la función es la secante hiperbólica de distribución y no admite nada parecido a una matriz de covarianza. Puesto que nada puede covarían, ¿qué está midiendo?

Esto no es para decir que no pueden co-mover. Cuando se mira en múltiples empresas, las devoluciones de las empresas no puede ser independiente, aunque asintóticamente ninguno de ellos puede covarían. Esto es parte de lo que hace esta distribución famoso. Las variables no son independientes, sino que no covarían como el tamaño de la muestra tiende a infinito.

Por último, el riesgo-neutral comportamiento no puede existir al margen. Sé que estoy haciendo de su día.

Hay dos argumentos para ello. La primera no es un verdadero argumento, pero que garantiza una pausa. Si usted asume la aversión al riesgo, luego de deFinetti la coherencia de principio y de la asunción de la disposición a aceptar todas las finito apuestas en los precios establecidos, entonces los axiomas de Kolmogorov caen como teoremas. Si usted no asumir la aversión al riesgo, entonces esto no sucede. A continuación, agregar los supuestos de que: $$\Pr(A)\ge{0},$$ $$\Pr(\Omega)=1,$$ y para cualquier contables secuencia de conjuntos disjuntos $$\Pr\cup_{i=1}^\infty{A_i})=\sum_{i=1}^\infty\Pr(A_i).$$ Uno debe dar un momento de pausa en el que la naturaleza ofrece una solución que minimiza tanto las hipótesis y coincide con la realidad lo suficientemente a menudo.

El segundo argumento es el de la racionalidad. Si el marginal actor fue amantes del riesgo, a continuación, van a pagar una prima a tomar un riesgo. Esto es lo mismo que decir que $K_{t+1}=RK_t+\epsilon_{t+1},R<1,\forall{t}$. El tiempo suficiente dado el stock de capital de el planeta se vaya a cero y todos los seres humanos morirían.

Esto no significa que los amantes del riesgo actores no existen, ni tampoco significa que no son nunca los marginales actor. Implica que no puede ser marginal, el actor sólo una minoría de la época.

La asunción de los riesgos, la neutralidad era sólo un matemático conveniencia creado por el uso de la distribución normal. La probabilidad de riesgo de neutralidad debe ser cero, a partir de este segundo argumento.

Funciona de esta manera, el riesgo de neutralidad existe en exactamente un punto. Un único punto sobre un continuo de puntos posibles tiene medida cero y, por tanto, una probabilidad de cero. Incluso si fuera cierto, nunca puede ser medido y amantes del riesgo de comportamiento es imposible. Por lo tanto, al ser requerido para el uso de la estadística Bayesiana, el riesgo-neutral comportamiento es funcionalmente excluidos como una posibilidad.

Para una extensa discusión de la distribución de Cauchy ver: ¿Por qué la Distribución de Cauchy No Tiene Media