Relación Put-Call para la opción a plazo

Question

El precio a plazo de un contrato a plazo con vencimiento en el momento T sobre un activo con precio St en el momento t es,

$$ F=S_te^{(r-q)(T-t)} $$

donde $r$ es el tipo sin riesgo y $q$ es la tasa de dividendos continua para $S_t$ .

La ecuación de Black Scholes para una opción contingente sobre F es, $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2F^2\frac{\partial ^2V}{\partial F^2} -rV = 0 $$

¿Cómo puedo demostrar que los precios de las opciones europeas de compra, C, y de venta, P, sobre el contrato a plazo F, con el mismo precio de ejercicio K y la misma fecha de vencimiento? $T_1$ donde $T_1 < T$ (es decir, las opciones vencen antes de que venza el plazo), están relacionadas por

$$ C(F,t)=\frac{F}{K}P(\frac{K^2}{F},t) $$

Gracias.

Answer 1

Sea $\{F(t, T), 0 \leq t \leq T\}$ sea el proceso hacia adelante que satisface una SDE de la forma \begin{align*} dF(t, T) = \sigma F(t, T) dW_t, \end{align*} donde $\sigma$ es la volatilidad constante, $\{W_t, t>0\}$ es un movimiento browniano estándar. El resultado en el momento $T_1$ donde $0 < T_1 \leq T$ de una opción europea a plazo vainilla es de la forma \begin{align*} \max(\psi (F(T_1, T)-K), \, 0), \end{align*} donde $\psi = 1$ para una opción de compra, y $-1$ para una opción de venta. Obsérvese que, para cualquier $0\leq t \leq T_1$ , \begin{align*} F(T_1, T) = F(t, T) \exp\Big(-\frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t) + \sigma \sqrt{T_1 -t} \xi \Big), \end{align*} donde $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. Entonces, el valor en el momento $t$ del pago de la opción anterior viene dado por \begin{align*} d(t, T_1)\psi\Big[F(t, T) \Phi\big(\psi d_1(F)\big) -K \Phi\big(\psi d_2(F)\big) \Big], \end{align*} donde $d(t, T_1)$ es el factor de descuento, \begin{align*} d_1 (F) = \frac{\ln \frac{F(t, T)}{K} + \frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t)}{\sqrt{T_1-t}\,\sigma}, \end{align*} y \begin{align*} d_2 (F) = \frac{\ln \frac{F(t, T)}{K} - \frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t)}{\sqrt{T_1-t}\,\sigma}. \end{align*} Eso es, \begin{align*} C(F, t) = d(t, T_1)\Big[F(t, T) \Phi\big(d_1(F)\big) -K \Phi\big(d_2(F)\big) \Big], \end{align*} y \begin{align*} P(F, t) = d(t, T_1)\Big[K \Phi\big(-d_2(F)\big) -F(t, T) \Phi\big(-d_1(F)\big)\Big], \end{align*} Obsérvese que, al sustituir $F$ en $d_1$ con $K^2/F(t, T)$ , \begin{align*} d_1 \Big(\frac{K^2}{F}\Big) &= \frac{\ln \frac{K^2/F(t, T)}{K} +\frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t)}{\sqrt{T_1-t}\,\sigma}\\ &= \frac{-\ln \frac{F(t, T)}{K} + \frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t)}{\sqrt{T_1-t}\,\sigma}\\ &= -d_2(F). \end{align*} Del mismo modo, \begin{align*} d_2 \Big(\frac{K^2}{F}\Big) &= \frac{\ln \frac{K^2/F(t, T)}{K} -\frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t)}{\sqrt{T_1-t}\,\sigma}\\ &= \frac{-\ln \frac{F(t, T)}{K} - \frac{\sigma^2}{2} (T_1 -t)}{\sqrt{T_1-t}\,\sigma}\\ &= -d_1(F). \end{align*} Entonces \begin{align*} \frac{F}{K}P\bigg(\frac{K^2}{F}, t \bigg) &= d(t, T_1)\frac{F}{K}\Bigg[K \Phi\bigg(-d_2\bigg(\frac{K^2}{F}\bigg)\bigg) -\frac{K^2}{F} \Phi\bigg(-d_1\bigg(\frac{K^2}{F}\bigg)\bigg)\Bigg]\\ &= d(t, T_1)\bigg[F \Phi\Bigg(-d_2\bigg(\frac{K^2}{F}\bigg)\bigg) -K \Phi\bigg(-d_1\bigg(\frac{K^2}{F}\bigg)\bigg)\Bigg]\\ &= d(t, T_1)\Big[F(t, T) \Phi\big(d_1(F)\big) -K \Phi\big(d_2(F)\big) \Big]\\ &= C(F, t). \end{align*}

Answer 2

Creo que una forma de hacerlo es tal vez como a continuación...

Considere el valor de una opción de compra sobre el forward en el momento $t$ y el precio a plazo $F$ y el valor de una opción de venta en el momento $t$ y el precio a plazo $(K^2/F)$ . Supongamos que tienen el mismo precio de ejercicio $K$ .

Entonces, en el momento $T_1$ ( vencimiento de la opción ), tenemos $$ C( F,T_1 ) = ( F - K )^+ \\ P( \frac{K^2}{F}, T_1 ) = (K-\frac{K^2}{F})^+ $$

Dividiendo C entre P,

$$ \frac{C( F,T_1 )}{P( \frac{K^2}{F}, T_1 ) }=\frac{ ( F - K )^+}{(K-\frac{K^2}{F})^+}=\frac{ (F - K )^+}{K(\frac{F-K}{F})}=\frac{F}{K} $$

La condición debe mantenerse para todas las veces anteriores $t<T_1$ . Por lo tanto,

$$ C( F,t)=\frac{F}{K}P( \frac{K^2}{F}, t ) $$