Encontrar el movimiento browniano asociado a una combinación lineal de movimientos brownianos dependientes

Question

Tengo $N$ movimientos brownianos unidimensionales correlacionados $W_1,\ldots,W_N$ con la matriz de correlación $\rho$ y considero que el proceso $Z_t \equiv \sum_{i=1}^N \mu_i (t) W_t$ donde el $\mu_i$ son funciones deterministas que son, como mínimo, lineales a trozos. ¿Cómo podría encontrar una función $\mu$ tal el proceso $Y_t$ definido por $\mu(t) Y_t = Z_t$ sería un movimiento browniano estándar?

Answer 1

Calculemos la covariación cuadrática : $$d \langle Z,Z \rangle_t = \left(\sum_{i=1}^N \mu_i(t)^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq N} \mu_i (t) \mu_j (t) \rho_{i,j}\right) dt$$ donde $\rho_{i,j}$ es la correlación instantánea entre $W_{i}$ y $W_{j}$ . Por lo tanto, si definimos $$\alpha (t) \equiv \sum_{i=1}^N \mu_i(t)^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq N} \mu_i (t) \mu_j (t) \rho_{i,j}$$ y $W_t \equiv \frac{1}{\sqrt{\alpha(t)}} Z_t$ vemos que $$d \langle W,W \rangle_t = dt.$$ Como $W$ en $0$ es casi seguramente igual a cero ya que el $W_i$ son, la única última hipóstasis a comprobar para poder aplicar la caracterización de Lévy (de continuo El teorema del movimiento browniano es que $W$ es un continuo martingala. Obviamente es una martingala, y su continuidad depende de la $\mu_i$ que son lineales a trozos pero no necesariamente continuos.

Answer 2

En general, no se puede encontrar tal $\mu(t)$ tal que $Y=\{Y_t, t \ge 0\}$ definido por $\mu(t) Y_t = Z_t$ es una martingala, a menos que todos $\mu_i(t)$ son múltiplos escalares de la misma función positiva.

De hecho, hay que tener en cuenta que \begin{align*} Y_t &=\frac{1}{\mu(t)}Z_t\\ &\equiv \sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(t) \end{align*} Para $0\le s \le t$ , \begin{align*} E\left(Y_t \,|\,\mathcal{F}_s \right) &=E\left(\sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(t) \,|\,\mathcal{F}_s \right)\\ &=E\left(\sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) \left(W_i(t)-W_i(s)\right) + \sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(s) \,|\,\mathcal{F}_s \right)\\ &=\sum_{i=1}^N \hat{\mu}_i(t) W_i(s). \end{align*} Entonces, para $Y$ para ser una martingala, $\hat{\mu}_i(t)$ , para $i=1, \ldots, N$ son constantes. En otras palabras, $\mu_i(t) = \alpha_i\, \mu(t)$ , donde, $\alpha_i$ , para $i=1, \ldots, N$ son constantes, y $\mu(t)$ es una función positiva.