BDC para las preferencias de King-Plosser-Rebelo

Question

Estoy leyendo Puntuación dinámica: Una guía de la parte trasera del sobre por Mankiv y Weinzierl ( aquí ) y en la página 1420, no entiendo el BDC en la ecuación $(10)$ que dice $r=...$ . Yo consigo el BDC con $v'(n)=...$ usando a Lagrange.

Encontré el mismo BDC en un papel de Ferede ( Puntuación dinámica en el modelo de crecimiento de Ramsey , aquí ) y dice, que

se obtiene combinando las condiciones de primer orden de la utilidad maximización con respecto al capital y el consumo (página 5).

Pero sólo observo $ \lambda =-c^{- \gamma }e^{gt(1- \gamma )}e^{(1- \gamma )v(n)}$ del consumo de BDC y de la T.R.F. y $- \lambda [(1- \tau_k )r-g]=0$ de la capital de la FOC w.r.t.

¿Cómo se supone que voy a conseguir $ \dot {n}$ y $ \dot {c}$ allí?

Bueno, déjame mostrarte lo que tengo: La función de Lagrange está dada por:

$$L= \frac {1}{1- \gamma }[c^{1- \gamma }e^{gt(1- \gamma }e^{(1- \gamma )v(n)}-1]- \lambda [(1- \tau_n )wn + (1- \tau_k )rk - c - gk +T - \dot {k}]$$

Así que el consumo de BDC con T.R.F. viene dado por $ \frac { \partial L}{ \partial c}=c^{- \gamma }e^{gt(1- \gamma )} e^{(1- \gamma )v(n)}+ \lambda =0$ mientras que el BDC con el capital es $- \lambda [(1- \tau_k )r-g]=0$ .

Así que la ecuación para $ \dot { \lambda }$ se basa en la ecuación $ \frac { \partial \lambda }{ \partial t}= \frac { \partial \lambda }{ \partial c} \frac { \partial c}{ \partial t}$ . Y lo estás diferenciando completamente.

Espero que alguien pueda ayudarme.

NUEVO: Así que de nuevo: $ \lambda =e^{-pt}u'(c)$ . Así que tienes razón con tu ecuación después de tus palabras "Entonces sustituye de nuevo en el BDC para el consumo", pero luego lo sustituyes por el BDC con k: $ \dot { \lambda }= \lambda [g-(1- \tau )r]$ así que tenemos $ \gamma \dot {c}/c - (1- \gamma )(g+v'(n) \dot {n})+p=g-(1- \tau )r$ para que los signos no encajen más y esto desafortunadamente lleva a algo más que una ecuación $(10)$ .

Answer 1

Así que usemos aquí un Hamiltoniano de valor presente:

$H=e^{-pt}u(c)+\lambda(\dot k)$

FOC: wrt c: $0=e^{-pt}u'(c)-\lambda$

wrt k: $-\dot\lambda=\lambda[(1-\tau)r -g]$

Tomar el FOC del consumo y diferenciarlo en función del tiempo:

$\dot\lambda =-\gamma c^{-\gamma-1}\dot c e^{-pt+gt(1-\gamma)}e^{(1-\gamma)v(n)}+c^{-\gamma}e^{-pt+ gt(1-\gamma)}e^{(1-\gamma)v(n)}[(1-\gamma)(g+v'(n)\dot n)-p]$

A continuación, sustituir de nuevo en el FOC para el consumo:

$\dot\lambda =-\gamma c^{-1}\dot c\lambda +\lambda[(1-\gamma)(g+v'(n)\dot n)-p]$

Entonces sustituye a este tipo en el Foc por capital:

$g-(1-\tau )r=-\dot c/c\gamma+(1-\gamma)[g+v'(n)\dot n]-p$

que conduce a:

$r(1-\tau)=p+(\dot c/c +g)\gamma+(1-\gamma)[-v'(n)\dot n] $