En Haag et al. De 2009, las Pruebas y la imposición de Slutsky simetría en la paramétrica de la demanda de sistemas, los autores afirman que la matriz de Slutsky puede ser calculada a partir de compartir las funciones expresadas en términos de registra los precios y registra la riqueza. En particular, afirman que, deje que $p$ y $w$ anotarse los precios y registra la riqueza. $s_{ij}=\frac{\partial{b_i(p,w)}}{\partial{p_j}}+\frac{\partial(b(p,w))}{\partial w}b_j(p,w)+b_j(p,w)b_i(p,w)-\delta_{i,j}b_i(p,w)$ donde $\delta_{i,j}$ es la función delta de kronecker que dice que en los términos de la diagonal tenemos que restar $b_i(p,w)$. Él afirma que esta es la matriz de Slutsky en talados los precios de los términos, pero, ¿cómo puede beif todo es en términos de acciones. He tratado de derivar a mí mismo, pero no puedo reproducir lo que tienen, pero tal vez estoy cometiendo algún error. Los autores citan Mas-Colell et al. ¿sabe usted la referencia exacta en el libro, sólo ofrecen la referencia general. Referencia:Haag, B. R., Hoderlein, S., & Pendakur, K. (2009). Las pruebas y la imposición de Slutsky simetría en la paramétrica de la demanda de los sistemas. Journal of Econometrics, 153(1), 33-50.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En todas las referencias indexadas a la matriz de Slutsky en Mas-Collel et al. no hay tal relación puede ser encontrado. Es mi impresión de que los autores quisieron decir que la expresión de que escribir transmite la misma información y las restricciones con el original, siendo una versión a escala de la misma.
Voy a utilizar los índices de $i$, $k$, y escribir el logaritmo de forma explícita, para evitar la confusión.
$$\frac {\partial b_i}{\parcial \ln p_k} = \frac {\partial (x_ip_i/w)}{\parcial \ln p_k}$$
Obtener liberal con diferenciación parcial, pensar en él como un diferencial, lo que da
$$\partial \ln p_k = \partial p_k/p_k$$
Insertar arriba para obtener $$\frac {\partial b_i}{\parcial \ln p_k} = p_k\frac {\partial (x_ip_i/w)}{\partial p_k} = \frac{p_ip_k}{w}\cdot \frac {\partial x_i}{\partial p_k}$$ y reordenamiento de las
$$\implica \frac {\partial x_i}{\partial p_k} = \frac{w}{p_ip_k} \cdot \frac {\partial b_i}{\parcial \ln p_k} \etiqueta{1}$$
Así que hemos expresado el primer término de la habitual Slutsky elemento en términos de logarítmicas derivados de las cuotas del presupuesto. Para el segundo componente tenemos
$$\frac {\partial b_i}{\parcial \ln w} = w\frac {\partial (x_ip_i/w)}{\partial w} = w \frac {(\partial x_i/\parcial w)p_iw - x_ip_i}{w^2} = p_i\frac {\partial x_i}{\partial w} - b_i$$
la reorganización y también multiplicar por $x_k$ obtenemos
$$\frac {\partial x_i}{\partial w} x_k = \frac {x_k}{p_i}\frac {\partial b_i}{\parcial \ln w} + \frac {x_k}{p_i} b_i$$
Multiplicar y dividir cada elemento por $p_kw$:
$$\frac {\partial x_i}{\partial w} x_k = \frac {x_kp_kw}{p_ip_kw}\frac {\partial b_i}{\parcial \ln w} + \frac {x_kp_kw}{p_ip_kw} b_i$$
$$\implica \frac {\partial x_i}{\partial w} x_k = \frac {w}{p_ip_k}\frac {\partial b_i}{\parcial \ln w} b_k + \frac {w}{p_ip_k} b_ib_k \etiqueta{2}$$
La combinación,
$$(1),(2) \implica s_{ik} = \frac {\partial x_i}{\partial p_k} + \frac {\partial x_i}{\partial w} x_k \\ =\frac{w}{p_ip_k} \cdot \frac {\partial b_i}{\parcial \ln p_k} + \frac {w}{p_ip_k}\cdot \frac {\partial b_i}{\parcial \ln w} b_k + \frac {w}{p_ip_k}\cdot b_ib_k $$
$$\implica s_{ik} = \frac{w}{p_ip_k} \Big(\frac {\partial b_i}{\parcial \ln p_k} + \frac {\partial b_i}{\parcial \ln w} b_k + b_ib_k\Big) \etiqueta{3}$$
El plazo en el gran paréntesis es lo que los autores dan como fuera de la diagonal de los elementos de la matriz de Slutsky. El factor de escala $\frac{w}{p_ip_k}$ es simétrica, por lo que la expresión en el gran paréntesis embargo, refleja las mismas condiciones de simetría como la habitual de $s_{ik}$ términos.
Si se aplica el mismo método de los elementos de la diagonal que va a obtener $-b_i$ plazo.
Esta forma de la matriz de Slutsky creo que es la vieja historia, y que ha llegado acerca de los efectos de la estimación econométrica de la demanda de los sistemas. Por ejemplo, en Theil, H., & Clements, K. W. (1980). Los recientes Avances Metodológicos en la Ecuación Económica de los Sistemas. American Behavioral Scientist, 23(6), 789-809. nos encontramos con esta forma de la Slutsky elementos, por lo que los autores llaman "elementos de la matriz de Slutsky" sin ningún tipo de "explicación" de por qué el libro de texto las expresiones son a escala.
Pero te aconsejo ir por delante y e-mail de los autores pidiendo aclaraciones.
