¿Converge un proceso de Poisson a un proceso Ito a largo plazo?

Question

He oído que un proceso de Poisson "converge" a un proceso de Ito (difusión) a largo plazo. Sin embargo, no veo cómo la función característica de la forma se transforma en la de este último. ¿En qué medida podría definirse esta convergencia?

Answer 1

Existen, al igual que para las variables aleatorias, diferentes tipos de convergencias para los procesos estocásticos. Probablemente te refieras a la convergencia en la topología de Skorokhod $J_1$ . Este es un concepto de convergencia para $d$ -procesos cádlágicos.

Convergencia de los procesos estocásticos $X_n \xrightarrow {\mathscr L} X $ en este sentido se mantiene si y sólo si las leyes $\mathscr{L}(X^n)$ convergen en el espacio de medidas de probabilidad sobre funciones cádlág dotadas de la topología de Skorokhod.

Normalmente hay que mostrar a las cosas:

1. $(X^n)$ es ajustado (es decir, relativamente compacto)
2. $X_n \xrightarrow {\mathscr L(D)} X$ para algún subconjunto denso $D \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ (por ejemplo, la convergencia de las distribuciones de dimensión finita)

Para un tratamiento completo de este tema, véase Jacod & Shirayev: Teoremas de límite para procesos estocásticos o la referencia más clásica Billingsley: Convergencia de las medidas de probabilidad .

Su pregunta para los procesos de Poisson puede responderse ahora con el Teorema IX.4.8. de Jacod&Shiryaev. Consideremos un proceso de Poisson compuesto $Y$ es decir, un proceso de Poisson $N$ con intensidad $\lambda$ y variables aleatorias i.i.d. $X_1,X_2, \dots$ , s.t. $$ Y_t = \sum_{i=1}^{N_t} X_i, \quad t \ge 0. $$ Ahora esperamos que si los saltos $X^1,X^2,...$ se reducen y la intensidad $\lambda$ explota, que se puede dar una convergencia a un movimiento browniano.

Esto se confirma con el Teorema IX.4.8: Consideremos $\lambda^n=n$ , $X_1^n$ se distribuya normalmente con media cero y varianza $n^{-(1/2)}$ . Entonces la variación cuadrática se calcula en $$ \int x^2 \lambda_n \phi\big(\frac{x}{a_n}\big) a_n^{-1}dx = \lambda_n (a_n)^2=1$$ donde $a_n=n^{-(1/2)}$ . Esto demuestra que $\tilde c^n \to 1$ en el teorema IX.4.8. Junto con el hecho de que el proceso límite no tiene saltos ( $K=0$ en el mismo) y no hay deriva ( $b=0$ en ella) se obtiene que el límite es un movimiento browniano.

Teorema IX 4.8:

Answer 2

Si $X_t$ es un proceso de conteo de Poisson con intensidad $\lambda$ entonces la Martingala $M_t=X_t\lambda t$ se denomina Proceso de Poisson Compensado. Como $\lambda$ se hace grande $M_t$ converge a un movimiento browniano con tasa de varianza $\lambda$ .

Esto puede verse utilizando la aproximación de la distribución de Poisson a las "grandes llegadas": cuando la tasa de llegada es grande, el número de eventos por segundo es aproximadamente normal con media $\lambda$ y la varianza $\lambda$ por lo que el aumento del proceso compensado por segundo es N(0,).

Answer 3

Es sencillo mostrar un resultado más débil: Que un proceso de Poisson se distribuye normalmente como $T$ se hace grande. Un proceso de Poisson tiene incrementos independientes. Sea $X_T-X_0$ sea un proceso de Poisson. Tomemos un paso de tiempo arbitrario $\Delta t$ . Entonces $X_T-X_0=\sum \left(X_{(i+1)\Delta t}-X_{i\Delta t}\right)$ . Por el Teorema Central del Límite, la suma de variables aleatorias IID extraídas de una distribución con varianza finita converge a una variable aleatoria normal a medida que el número de términos se aproxima al infinito. Por lo tanto, a medida que $T \to \infty$ , $X_T-X_0 \to \mathcal{N}(\cdot, \cdot)$ .