Riesgo neutral medida para dinamizar los procesos de

Question

Suponemos que el modelo de la dinámica de un negociables activos de la siguiente manera $$S_t = S_0 \exp\left[\sigma W_t +(\alpha\beta\lambda-\frac{1}{2}\sigma^2)t+J_t \derecho]$$ donde $W_t$ es un estándar de movimiento Browniano independiente de $J_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i$ un proceso de Poisson compuesto.

¿Qué condiciones debe $\alpha$ y $\beta$ para verificar esta dinámica de la validez de riesgo-neutral dinámica?

Answer 1

Asumir un riesgo constante tasa libre de $r$ y no los dividendos. La generalización es sencillo.

Para impedir oportunidades de arbitraje, en virtud del riesgo-neutral de la medida $\Bbb{Q}$, el descuento en los precios de los activos de proceso debe ser un $\Bbb{Q}$-martingala es decir, $$S_0 = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ e^{-rt} S_t \derecho] \ffi \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ S_t \derecho] = S_0 \exp(rt) \etiqueta{1}$$

Ahora, reescribir la ecuación como $$\begin{align} S_t &= S_0 \exp(\alpha t) \mathcal{E}(\sigma W_t) \exp(-\beta \lambda t + J_t) \end{align}$$ donde $J_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i$ denota un compuesto proceso de Poisson con $\{Y_i\}_{i=1}^\infty$ i.yo.d. variables aleatorias y $N_t$ un proceso de Poisson de intensidad de $\lambda$, y teniendo la expectativa de menos de $\Bbb{Q}$ teniendo en cuenta que el proceso de Wiener es independiente del proceso de Poisson compuesto rendimientos $$\begin{align} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} [S_t] &= S_0 \exp(\alpha t) \exp(-\beta \lambda t ) \Bbb{E}_0^\Bbb Q[\exp(J_t)] \etiqueta{2} \end{align}$$

La comparación de las expresiones anteriores, vemos que $(1)$ es consistente con $(2)$ si y sólo si $\alpha = r$ y $\beta$ es tal que $\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[ \exp(J_t) ] = \exp(\beta \lambda t )$

La evaluación de $\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[ \exp(J_t) ]$ da $$\begin{align} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[ \exp(J_t) ] &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \exp \left(\sum_{i=1}^{N_t} Y_i\derecho) \right] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \Bbb{E}_t^\Bbb{Q} \left[ \exp \left(\sum_{i=1}^{N_t} Y_i\derecho) \right] \derecho] \\ &= \sum_{n=0}^\infty \Bbb{E} \left[ \exp\left(\sum_{i=1}^n Y_i\derecho) \right] \Bbb{Q}(N_t = n) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \prod_{i=1}^n \Bbb{E} \left[\exp(Y_i) \right] \Bbb{Q}(N_t = n) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left( \Bbb{E} \left[ \exp(Y_1) \right] \derecho)^n \Bbb{Q}(N_t = n) \\ &= e^{-\lambda t} \sum_{n=0}^\infty \left( \Bbb{E} \left[ \exp(Y_1) \right] \derecho)^n \frac{(\lambda t)^n}{n!} \\ &= \exp \left(\Bbb{E} \left[ \exp(Y_1) \right] - 1)\lambda t \right) \end{align}$$ demostrando que, por debajo de los $\Bbb{Q}$, es suficiente con que $$\alpha = r,\ \ \beta = \Bbb{E} \left[ \exp(Y_1) \right] - 1$$ para impedir oportunidades de arbitraje.