El proceso de $S$ es un movimiento Browniano geométrico con un SDE: $dS_t = S_t(\sigma\, dB_t + \mu\, dt)$. Estoy atascado evaluar $E(X_t)$ y $V(X_t)$, donde $dX_t = t\,dS_t$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Winter Traveler
Puntos
11
El uso de Itô del Lexema, observe que: $$d(tS_t)=tdS_t+S_tdt=dX_t+S_tdt$$ Por lo tanto: $$X_t=tS_t-\int S_udu$$ El uso de independencia de Browniano incrementos, $E(S_udW_u)=E(S_u)E(dW_u)=0$, y la regla de la cadena para el 4º paso: $$\begin{align} E(X_t)&=E\left(\int dX_u\derecho) \\ &=\int uE(dS_u) \\ &=\int u\mu E(S_u)du \\ &=S_0\int u\mu e^{\mu u}du \\ &=S_0\left(te^{\mu t}-\int e^{\mu u}du\derecho) \\ &=S_0\left(te^{\mu t}-\frac{1}{\mu} e^{\mu t}-1)\derecho) \end{align} $$
[Nota: en el anterior cálculo de la varianza que estaba mal, que se fijará cuando esté disponible.]
