Importancia de Muestreo para la determinación de precios de opciones con longstaff y schwartz

Question

Me han estado preguntando esta pregunta similar antes. Sin embargo, lo que realmente quiero ser concreto y obtener y explicación concreta.

He estado leyendo el artículo de Moreni y tratar de aplicar la misma metodología basada en mínimos cuadrados de monte carlo para Americanos y Europeos opciones put. Que la rentabilidad de la función de estos dos pone está dada por $f(t,S_t)=\max(K-S(t),0)$. La única diferencia es que para el caso Americano, tenemos premios en diferentes momentos de las simulaciones dependiendo de la óptima tiempo de parada.

Como de costumbre tenemos el precio de las acciones subyacentes como el movimiento browniano geométrico:

$dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t$.

Moreni introduce el cambio de deriva en el subyacente:

$dS_t = (r+\theta\sigma )S_t dt + \sigma S_t dW_t$.

Cuando la simulación desde el desvió de proceso, tenemos que multiplicar la RENTABILIDAD de las funciones con el cociente de probabilidad definida como $L_\theta=\exp\{-\theta W_t+\frac{1}{2}\theta^2 t\}$

así que tenemos un total de $f(t,S_t)=\max(K-S(t),0)\cdot\exp\{-\theta W_t+\frac{1}{2}\theta^2 t\}$

en lugar de sólo $f(t,S_t)=\max(K-S(t),0)$

La idea es, por supuesto, el uso de valores negativos para $\theta$, así que conseguir más "en el dinero caminos".

Pero cuando trato de usar estos modificado rentabilidades con el Longstaff y schwartz algoritmo, no tengo ninguna resultados relevantes. El precio se pone extremadamente sesgada cualquiera sea el valor que uso para $\theta$.
Mi pregunta es, en caso de la estimación de la continuación de los valores en mínimos cuadrados el método de también ser modificado con el cociente de probabilidad? En ese caso, ¿cómo? O como se menciona en el artículo, SÓLO la rentabilidad de las funciones de ser multiplicado por el cociente de probabilidad??

Gracias por su paciencia

PS* Añadido por solicitud de los pasos que yo uso:

1. Generar $N$-escenarios de la desvió con $\theta$ geométricas el movimiento browniano
2. Guardar todos los estándar de los valores normales $Z_t$ desde el GBM para su uso en el cociente de probabilidad.
3. Crear el cociente de probabilidad utilizando el $Z_t$'s y para un cierto valor $\theta$
4. El uso de la razón de verosimilitud y el conjunto de $f(t,S_t)=\max(K-S(t),0)\cdot\exp\{-\theta W_t-\frac{1}{2}\theta^2 t\}$ para todas las rutas
5. Ahora ejecute el de mínimos cuadrados algoritmo de $t=T$ a $t=0$ para calcular todas la continuación de los valores y óptimo de los tiempos de parada.
6. Tomar el promedio de todos los escenarios.

Answer 1

Suponiendo determinista de las tasas de interés, el precio de una opción call Americana golpeado en $K$ y expira a $T$ es dada por $$V_0 = \text{sup}_{\tau \in \mathcal{T}[0,T]} \mathbb{E}_0^\mathbb{Q}\left[ e^{-i\tau} \max(S_{\tau}-K, 0) \right]$$ donde $\mathcal{T}[0,T]$ denota una familia de tiempos de parada con valores en $[0,T]$ y donde, bajo el riesgo de neutro medida $\mathbb{Q}$, asumimos $(S_t)_{t\geq 0}$ es una GBM $$\frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}}$$

Haciendo importancia de muestreo se reduce a calcular el precio por encima de mediante la simulación de las rutas y el cálculo de la expectativa y no bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$, sino que, en virtud de una modificación de la medida $\mathbb{Q}^\theta$ que usted tiene en su caso elegido tal que $$\frac{dS_t}{S_t} = (r+\sigma\theta) dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}^\theta} \etiqueta{1}$$

que implícitamente se da forma a la Radon-Nikodym derivados (véase el teorema de Girsanov) $$\left. \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{Q}^\theta} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}\left(-\theta W_t^{\mathbb{Q}^\theta}\right) = \exp\left(-\theta W_t^{\mathbb{Q}^\theta} - \frac{1}{2}\theta^2 t \right) := L(\theta,t) \etiqueta{2}$$ lo que define a lo que te refieres como el cociente de probabilidad.

Mediante un cambio de la medida argumento (+ óptima teorema de muestreo), se puede entonces afirmar que el $$\begin{align} V_0 &= \text{sup}_{\tau \in \mathcal{T}[0,T]} \mathbb{E}_0^\mathbb{Q}\left[ e^{-i\tau} \max(S_{\tau}-K, 0) \right] \\ &= \text{sup}_{\tau \in \mathcal{T}[0,T]} \mathbb{E}_0^\mathbb{Q^\theta}\left[ e^{-i\tau} \max(S_{\tau}-K, 0) L(\theta,\tau) \right] \end{align}$$ donde en la última igualdad por encima de, $S_{\tau}$ (y la esperanza) son simulados (tomado) menos de $\mathbb{Q}^\theta$.

Así que lo que debe hacer es:

1. Generar $$ N de precio de las acciones de rutas en virtud de la modificación de la medida $\mathbb{Q}^\theta$ utilizando el SDE (1)
2. Aplicar el Longstaff-Schwartz (algoritmo de mínimos Cuadrados de Monte Carlo) para obtener, para cada simulado ruta $n=1,...,N$ el valor de los descuentos ejercicio valor en el óptimo tiempo de parada de $\tau^{(n)}$ $$e^{-i\tau^{(n)}} \max( S_{\tau^{(n)}}-K, 0 )$$ (bajo el capó, el LS algoritmo identifica óptimo de los tiempos de parada mediante la aproximación de la continuación de los valores a través de regresiones polinómicas de depender de la sección transversal de la información y trabajar hacia atrás en el tiempo).
3. Una vez que tienes eso, es sencillo calcular el estimador de Monte Carlo: $$\begin{align} V_0 &= \text{sup}_{\tau \in \mathcal{T}[0,T]} \mathbb{E}_0^\mathbb{Q^\theta}\left[ e^{-i\tau} \max(S_{\tau}-K, 0) L(\theta, \tau) \right] \\ &\approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \left( e^{-i\tau^{(n)}} \max( S_{\tau^{(n)}}-K, 0 ) \derecho) \times L(\theta, \tau^{(n)}) \end{align}$$ con ver (2) $$L(\theta,\tau^{(n)}) = \exp\left(-\theta W_{\tau^{(n)}}^{\mathbb{Q}^\theta} - \frac{1}{2}\theta^2 \tau^{(n)} \right)$$ y, por definición, de un proceso de Wiener (es decir, el movimiento Browniano estándar) $$W_{\tau^{(n)}}^{\mathbb{Q}^\theta} = \sum_{ i : 0 \leq t_i \leq \tau^{(n)} } Z_i \sqrt{t_{i+1}-t_i},\ \ \ Z_i \sim N(0,1)\ \ \text{i.yo.d.}$$

observe cómo el cociente de probabilidad $L(\theta,n)$ debe ser calculada para cada ruta $n=1,...,N$ dependiendo de la parada óptima tiempo para que la ruta $\tau^{(n)}$.

Answer 2

Yo sugeriría usar :

$$f(t,S^\theta_t)=\max(K-S^\theta_t,0)\exp(-\theta W_t\color{red}{\mathbf{-}}\frac{1}{2}\theta^2t)$$

donde $dS^\theta_t=(r+\sigma\theta)S^\theta_t dt + \sigma S^\theta_t dW_t$