Cómo conseguir que la función theta del modelo Hull-White reproduzca la curva de rendimiento actual

Question

Quiero calibrar el modelo de un factor de HW con los datos actuales del mercado. ¿Cómo configuro la función $\theta(t)$ en

$$ \mathrm{d}r(t) = \kappa(\theta(t)-r(t))\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}W(t) $$ para replicar la curva de rendimiento actual, es decir, ¿qué datos miro para calibrar (curvas Libor?) y cómo utilizo estos datos para obtener $\theta$ ?

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta Esto depende de la curva, moneda, etc. que le interese. El método general para construir curvas de rendimiento se denomina arranque que permite deducir los tipos al contado con cupón cero a partir del precio conocido de los instrumentos con cupón $-$ como bonos o swaps. En general:

1. Se empieza eligiendo instrumentos a corto plazo (normalmente a menos de 1 año) y con cupón cero, como Acuerdos de Tipos a Plazo (FRA), futuros, Depósitos de Certificados (CD) para iniciar la curva;
2. A continuación, para vencimientos más largos (normalmente superiores a 1 año), se eligen instrumentos con cupón, como los swaps, y se obtienen iterativamente tipos de cupón cero para esos vencimientos a partir de los precios de esos instrumentos y de los tipos de cupón cero anteriores que ya se tienen.

Para una curva en euros, puede recurrir a futuros sobre tipos para vencimientos inferiores a 1 año y a swaps estándar de fijo por flotante para vencimientos más largos, a fin de obtener una curva de rendimientos basada en el Libor.

En cuanto a su segunda pregunta suponemos que tiene una curva de rendimiento bootstrapped hasta un vencimiento $T_{\max}$ . Entonces se puede obtener el precio de los bonos cupón cero $B(0,T)$ para un continuo de vencimientos $T \in [0;T_{\max}]$ por interpolación. Como estos precios se derivan de datos de mercado, los escribiré como $B^M(0,T)$ .

Ahora, observe que existe una relación entre los bonos cupón cero y los tipos a plazo instantáneos $f(0,T)$ que es la siguiente:

$$ f(0,T)=-\frac{\partial \ln B}{\partial T}(0,T) $$

De este modo, se pueden obtener los tipos a plazo instantáneos implícitos en el mercado $f^M(0,T)$ de la actual estructura de plazos $\left(B^M(0,T):T \in [0;T_{\max]}\right)$ $-$ utilizando técnicas de diferenciación numérica como las diferencias finitas.

Reescribiendo ligeramente tu SDE:

$$ \mathrm{d}r(t) = (\theta(t)-\kappa r(t))\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}W(t) $$

Para que coincida con su estructura temporal bootstrapped, debe establecer theta de la siguiente manera:

$$ \theta(t) = \frac{\partial f^M}{\partial T}(0,t) + \kappa f^M(0,t) + \frac{\sigma^2}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t})$$

Tenga en cuenta que con el procedimiento de calibración descrito anteriormente calibrará el modelo seulement a la curva de rendimiento. Si desea calibrar productos más complejos, como las opciones, puede activar los parámetros $\kappa$ y $\sigma$ en funciones dependientes del tiempo: $\kappa(t)$ , $\sigma(t)$ .