La regla del 72 establece que si gano un interés del n%, puedo dividir 72 por n y obtener el número aproximado de años en los que duplicaré mi dinero.
¿Supongamos que quisiera averiguar cuántos años tardaría en cuadruplicar mi dinero? Por ejemplo, ¿qué porcentaje de retorno necesitaría generar cada año para cuadruplicar mi dinero en veinte años?
Para 3X, es cerca de 114, y para 4X, 144, que naturalmente, es el doble de 72.
Estos son resultados aproximados, rápidos. Con aplicaciones de teléfonos inteligentes que ofrecen calculadoras científicas, deberías sentirte cómodo solo tomando la raíz n-ésima de un número para obtener una respuesta más precisa.
Actualización en respuesta al comentario de Brick.
La regla de 72 dice que (n)(y)=72 para duplicar tu dinero. Responde a ambas preguntas, ¿cuánto tiempo necesito, dada una tasa, y cuánto retorno necesito, dada una cantidad de tiempo?
La lógica me dice que si 72 es el número para duplicar, 144 es el 4X. Pero soy un tipo de matemáticas, y mi lógica puede que no sea lógica para el OP. Entonces -
Vamos a tomar la 20ª raíz de 4.
Esta es la clave a usar. 4, (presiona tecla) 20, igual. El resultado es 1.07177 o 7.177%. Y esta es la tasa precisa que necesitarías para cuadruplicar tu dinero en 20 años. Ahora (n)(y)= 20*7.177 = 143.55 que se redondea a 144. "Regla de 144" para cuadruplicar tu dinero.
Esto ahora responde a la pregunta del OP, "¿Cómo derivar una Regla de X" para un retorno que no sea duplicar.
¿Un ejemplo más? Quiero 10X mi dinero. Por supuesto, necesito la suposición inicial para hacer un cálculo. A la gente le gusta el 8%, en general. Está un poco por debajo del retorno a largo plazo del S&P del 10%, y es un número redondo. La Regla de 72 dice que 9 años para duplicar, así que, 18 años son 4X, y 36 años son 8X. Para mi cálculo inicial, usaré 40 años. La 40ª raíz de 10. Obtuve 5.925% (Otra vez la tasa precisa que da 10 veces en 40 años) y multiplicando esto por 40, obtengo una "Regla de 240" a la que estoy tentado a redondear a 240.
En 6%, 237/6= 39.5 años, 1.06^39.5 = 9.99 En 6%,240/6= 40.0 años, 1.06^40.0 = 10.29
Puedes ver que pierdes algo de precisión por el bien de un número más fácil de recordar y manipular. 72 para duplicar es bastante preciso, así que me quedaré con la "Regla de 240" para obtener 10X mi dinero.
Para finalizar, el propósito de estas reglas es crear la herramienta que te permita realizar algunos cálculos difíciles fuera de cualquier dispositivo electrónico. Por supuesto, sé cómo usar logaritmos, y en la vida real me pagan para explicarlos a estudiantes que generalmente están contentos cuando ese capítulo termina. He mostrado arriba cómo la "Regla de X" se puede formular con una tecla de potencia o raíz, lo cual, para la mayoría de la gente, es más simple. Irónicamente, los cálculos de logaritmos como @jkuz ofreció, obligan a un interés compuesto continuo que puede que no sea deseado en absoluto. Daría un resultado de 230 para mi ejemplo de retorno de 10X, y lo siguiente (usando la primera ecuación que él ofreció) -
En 6%, 230/6= 38.3 años, 1.06^38.3 = 9.31
que está más lejos del deseado 10X que mi 237 o el redondeado 240.
¿Qué quieres decir con raíz n-ésima? ¿No sería log(MULTIPLE)/log(1+RATE) = x para encontrar cuántos años (X) necesitarías que la tasa de retorno RATE aumentara tu retorno en un factor de MULTIPLE? Tal vez me esté perdiendo algún razonamiento.
La raíz décima de 2, es decir, 2 ^ (1/10), te dirá la tasa de duplicación en 10 años. Esta matemática es de un nivel más bajo que los logaritmos.
La respuesta simple para la llamada 'Regla de X' se encontraría mediante:
X = ln(múltiplo del crecimiento) * 100 En tu caso:
X = ln(4) * 100 ≈ 139Actualización:
Si deseas una aproximación más cercana al valor nominal de la "Regla de 72", utiliza esta ecuación que incorpora una mejor aproximación para el logaritmo natural. La "Regla de 72" encaja para una tasa de interés del 7.79% para un múltiplo de crecimiento de 2:
X = ln(múltiplo del crecimiento) * (1 + (R / 200)) * 100 La regla de 72 se deriva aproximando los logaritmos naturales de la siguiente manera:
tiempo = ln(2) / ln(1+r) ≈ 0.6931/r El 2 es el múltiplo del crecimiento. La tasa r aquí no está en porcentaje, así que para cambiar a porcentaje (digamos, R) tienes que multiplicar por 100:
tiempo ≈ (0.6931 * 100) / R ≈ 69.3 / R El número 72 se usa a menudo porque es más fácil de dividir uniformemente que 69.3 y es una mejor aproximación para el logaritmo natural y las tasas de interés comunes.
Si necesitas más información, puedes encontrar todo esto en Wikipedia:
@Joe entendido! Definitivamente parece correcto que sea más fácil dividir que 69,3 pero eliminaré el otro. Gracias. ¡Por eso hice referencia al enlace!
Esto tiene cierto grado de precisión técnica, pero distorsiona por qué se usa el 72. (Si simplemente fuera porque es más fácil de recordar que 69.3, ¿por qué no usar 69 o 70?) La página de wikipedia explica esto bastante bien.
En lugar de eliminarlo, tal vez explique por qué en realidad es 72. (El 69.3 es correcto cuando r está cerca de 0, pero ln(1+r) ≈ r solo es cierto para r pequeños; es 72 porque esa es la respuesta correcta para r=0.08 que está en el rango de las tasas de interés comunes.)
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