El uso de Brouwer del Teorema de Punto Fijo para Demostrar la existencia de equilibrio(a) con completamente estrategias mixtas

Question

¿Cómo se puede utilizar Brouwer del Teorema de Punto Fijo para demostrar que el siguiente juego de F tiene una solución:

F se define como N={L,R} Ai=(g,1-g) donde g debe ser positivo y menor que 1, es decir, cada jugador juega una completamente estrategia mixta y tiene la siguiente matriz de recompensas:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline Y LU&LD\\\hline RU&0,0&6,3\\\hline RD&3,6&0,0\\\hline \end{array}

He llegado a la conclusión de que no podemos utilizar el teorema de tales para probar que existe una solución para el juego ya que las obras no pertenecen a un conjunto compacto. Cualquiera puede utilizarla?

Answer 1

En lugar de privar de la alegría de la solución de sus propios problemas, voy a mostrar cómo se puede utilizar también del teorema de Brouwer para mostrar que la función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $$ f(x) = \frac{33+x}{16+x^4} $$ tiene un punto fijo, a pesar de que su rango no es compacto.

Tenga en cuenta que $f(1) = 2$ y $f(2) = 35/32$. Como $f$ es monótonamente decreciente de más de $[1,2]$, esto también significa que $f([1,2]) \subconjunto [1,2]$. También, $[1,2]$ es compacto y $f$ es continua sobre este conjunto. Por lo que $f: [1,2] \a [1,2]$ tendrá un punto fijo por Brouwer del teorema de punto fijo.

Trucos similares se utilizan en la teoría de juegos y la teoría del equilibrio general. Mostrando que las decisiones óptimas por parte de algunos de los jugadores no puede ser, posiblemente, fuera de algunos límites, uno con frecuencia se puede crear un espacio compacto sobre el cual fija teoremas de punto son aplicables.

Answer 2

Sólo quería añadir que, en general, se puede mostrar esto vale para cualquier finito juego de dos jugadores. No voy a repetir la prueba, ya que es fácil de encontrar en línea (por ejemplo este). También vale la pena nada de lo que usted puede probar este resultado con otros teoremas de punto fijo. El ejemplo más notable es probablemente Kakutani del teorema de punto fijo, donde la existencia de NE se ha demostrado con las correspondencias (ver Fudenberg y Tirole).

Sólo pensé que usted podría querer saber si usted está buscando más en esto!