Conversión Feynman-Kac

Question

Si la función de precios $F$ satisface la EDP de Black Scholes, entonces puedo obtener la fórmula de evaluación neutral del riesgo de Feynman-Kac.

Si ya tengo la fórmula de evaluación neutral del riesgo, ¿puedo seguir utilizando Feynman Kac para obtener la EDP de Black Scholes?

Es decir, ¿hay una versión de Feynman-Kac?

Answer 1

Si asume que $$ V_t = V(t,S_t;\theta) = \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ e^{-\int_t^T r(s) ds} V_T \mid \mathcal{F}_t \right] $$ con $V_T = h(S_T;\theta), \Bbb{Q}-\text{a.s.}$ junto con $$ dS_t/S_t = r(t) dt + \sigma W_t^\Bbb{Q} $$ entonces, esto significa, de manera equivalente, que $$ \frac{V_t}{B_t} = \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{V_T}{B_T} \mid \mathcal{F}_t \right] \tag{1} $$ donde hemos definido $B_t = e^{\int_0^t r(s) ds}$ (supongamos que $r(t)$ es determinista en lo que sigue sin pérdida de generalidad), que es la representación matemática del hecho de que $V_t/B_t$ es un $\Bbb{Q}$ -martingale.

Por lo tanto, por la martingala teorema de la representación deberíamos tener eso (difusión pura asumida) \begin {align} d \left ( \frac {V_t}{B_t} \right ) = f(.) dW_t^ \Bbb {Q} \end {align} para alguna función que se comporte bien $f$ .

El cálculo de la diferencial en el lado izquierdo utilizando la información que tenemos y el cálculo de Itô nos lleva a ( $B_t$ tiene una variación finita) \begin {align} d \left ( \frac {V_t}{B_t} \right ) &= \frac {dV_t}{B_t} - \frac {V_t}{B_t^2}dB_t + 0 \N - d \langle V \rangle_t + 2 \frac {V_t}{B_t^3} \underbrace {d \langle B \rangle_t }_{0} - \frac {1}{B_t^2} \underbrace {d \langle V, B \rangle_t }_{0} \\ &= \frac {1}{B_t} \left ( dV_t - V_t r(t) dt \right ) \\ &= \frac {1}{B_t} \left ( \frac { \partial V}{ \partial t} dt + \frac { \partial V}{ \partial S} dS_t + \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2} d \langle S \rangle_t - V r(t) dt \right ) \\ &= \frac {1}{B_t} \left ( \frac { \partial V}{ \partial t} + \frac { \partial V}{ \partial S} r(t) S + \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 V}{ \partial S^2} \sigma ^2 S^2 - r(t) V \right ) dt + \frac {1}{B_t} \frac { \partial V}{ \partial S} \sigma S dW_t^ \Bbb {Q} \end {align} por lo que se requiere $$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + \frac{\partial V}{\partial S}(t,S) r(t) S + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) \sigma^2 S^2 - r(t) V = 0 $$ con $V(T,S_T) = h(S_T;\theta)$ que es precisamente la EDP de precios.