Para abundar en la explicación proporcionada por @Alex, el razonamiento es porque cuando nos fijamos en el PDE, nos damos cuenta de que la $S$ términos aparecen en pares con el $\dfrac{\partial}{\partial S}$, es decir $S\dfrac{\partial}{\partial S}$ y $S^2\dfrac{\partial^2}{\partial S^2}$. Lo que esto dice es que si se llegara a probar que una función polinómica de $S$, a continuación, después de la aplicación de estos operadores, a continuación, el exponente de $S$ no iba a cambiar, es decir $S\dfrac{\parcial S^n}{\partial S} \nS^n$, y del mismo modo $S^2\dfrac{\partial^2 S^n}{\partial S^2} \n(n-1)S^n$. Esto significa que después de probar este ansatz en el PDE, que se iba a cancelar, dejando sólo una ecuación polinómica de $n$, lo que si podemos mostrar soluciones justifica la inicial ansatz.
El razonamiento detrás de esto es que tratando de resolver ecuaciones en derivadas parciales, en general, es tedioso, por lo que siempre busque atajos específicos para el problema. Una buena mentalidad para la solución de un PDE problema es que la resolución de la real de la PDE, en general, es relativamente fácil, la relativamente difícil es aplicar las condiciones de contorno! Por tanto cuando la solución de un PDE debemos tener en cuenta cómo son nuestras condiciones de contorno se expresa? Si son una función polinómica de $S$, entonces se debe tratar de un polinomio de la función como el ansatz. Si tenemos una onda condición de frontera, a continuación, intente una ola ansatz, etc.
por ejemplo,
El siguiente
$$
\dfrac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial S^2}-rP+r\frac{\partial P}{\partial S}=0
$$
normalmente se podría motivar a una solución $P = \exp(\mu S)$ y tenemos que resolver para $\mu$.
Más general de la justificación se puede encontrar en la mayoría de los cursos de Álgebra Lineal y recomiendo ver ejemplos de Sturm-Liouville problema. El general de razonamiento, aunque es cambiar la base en uno que es fácil de resolver, por ejemplo, podríamos resolver el original de la PDE en términos de $\sin(S)$ y $\cos(S)$, o polinomios de Legendre, funciones de Bessel, etc., pero las soluciones no sería en cualquier lugar ordenado. Pero sólo se aprende con las que intentar por basándose en la experiencia, y aún después de años de experiencia e inteligente justificaciones que con frecuencia se puede recurrir a la prueba y el error.
Espero que esto ayude.
