Teorema central del límite y procesos de Lévy

Question

Los procesos de Lévy son autodescomponibles e independientes en cualquier intervalo no solapado, así que ¿cómo es posible que la distribución del proceso en el tiempo T, $\phi(T)$ que es la suma de N i.i.d con ley $\phi(T/N)$ no se distribuye normalmente? ¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Creo que tu problema es que estás asumiendo que todos los procesos de Lévy son estables con exponente $2$ . Esto es lo que ocurre si intentamos utilizar su argumento: Sea $X$ sea un proceso de Lévy (es decir, una martingala, para simplificar). En el momento $t$ para cualquier $N$ tenemos $$ X_t \sim\sum_{i=1}^N X^i \left(\frac{t}{N}\right), $$ con cada $X^i \left(\frac{t}{N}\right)$ i.i.d. y distribuidos como $X_{\frac{t}{N}}$ . Para aplicar el Teorema Central del Límite, deducir la supuesta normalidad de $X_t$ lo que queremos es $$ X^i \left(\frac{t}{N} \right) \sim \frac{1}{\sqrt{N}} X^i, $$ donde ahora el $X^i$ son una secuencia de variables aleatorias i.i.d que no dependen de $N$ (es decir, cada $X^i \sim X_t$ ) Esto es crítico porque el CLT sólo se aplica a una secuencia fija de variables aleatorias. Entonces sería rendimiento $$ X_t \sim \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=1}^N X^i, $$ que, como $N \rightarrow \infty$ se ajustaría a la plantilla del Teorema Central del Límite (por supuesto hasta condiciones de varianza)

Esta propiedad (que $X_{\frac{t}{N}} \sim \frac{1}{\sqrt{N}} X_t$ ), sin embargo, no la satisface una martingala de Lévy arbitraria (aunque sí la satisface el movimiento browniano). En consecuencia, si se llevara a cabo este argumento en general, habría que utilizar una matriz triangular de variables aleatorias, (ver mi comentario más abajo sobre estos objetos) que dan lugar a distribuciones estables mediante una generalización de la CLT.

La propiedad de escala más general para un proceso de Lévy es que $X$ satisface $$ X_t / t^{1/\alpha} \sim X_1, $$ con $\alpha$ siendo conocido como el exponente del proceso. Esta es la propiedad básica del procesos estables que son un subconjunto de los procesos de Lévy. El proceso de Poisson, por ejemplo, no es estable, mientras que el proceso de Cauchy es estable con exponente $1$ . A $2$ -el proceso estable debe ser gaussiano

EDITAR:

Me gustaría añadir un nuevo argumento, que intenta explicar el siguiente hecho: Si $X$ es un proceso Levy, entonces es Gaussiano sólo si tiene trayectorias continuas. Se trata de un argumento técnico y, de hecho, constituye básicamente la mitad del teorema de descomposición de Levy.

Sea $\xi_{nj}$ ser un matriz triangular nula de variables aleatorias independientes. Es decir $\xi_{nj}$ se define, para $1 \leq j \leq m_n$ para cada $n \in \mathbb{N}$ y $\sup_j E\left[ |\xi_{nj}| \wedge 1 \right] \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ . Esto es como una convergencia uniforme en probabilidad a cero, ya que $n \rightarrow \infty$ . Voy a citar un teorema debido a Feller y Levy. Lo encontré en "Foundations of Modern Probability" de Kallenberg.

Teorema Sea $\xi_{nj}$ sea una matriz triangular nula. $\sum_j \xi_{nj}$ converge a una v.r. normal. $\xi \sim N(b,c)$ si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

$$ \sum_j P(|\xi_{nj}| > \epsilon) \rightarrow 0 \text{ for all } \epsilon > 0, $$ $$ \sum_j E \left[\xi_{nj} ; |\xi_{nj}| \leq 1 \right] \rightarrow b, $$ $$ \sum_j var \left[\xi_{nj} ; |\xi_{nj}| \leq 1 \right] \rightarrow c $$

La demostración de este teorema no es fácil. Mándame un mensaje si quieres más detalles. Sin embargo, el resultado es que, asumiendo este teorema, vemos que la continuidad del camino es esencialmente equivalente a la primera condición, con $\xi_{nj}$ que representa la $j^{th}$ incremento de $X$ con el $n^{th}$ rejilla. El control de la media y la varianza son la segunda y tercera condiciones, respectivamente.

Answer 2

El teorema de Lévy establece que las condiciones que deben cumplirse para que $M(t)$ sea un movimiento browniano (y, por tanto, tenga una distribución normal):

• $M(t)$ para $t>0$ sea una martingala relativa a alguna filtración $F(t), t>0$ .
• $M(0)= 0$
• $M(t)$ tiene trayectorias continuas
• $[M,M](t) = t$ para todos $t\geq0$ ;

Por lo tanto, para probar cada condición simplemente diferencie su proceso de Lévy (utilizando el Cálculo de Itô), cambie a la forma integrada y observe que en $t=0$ la integral estocástica toma el valor cero, por lo que la expectativa es siempre cero (en $t=0$ ). Cuando se toma la expectativa de la integral estocástica se puede aislar la siguiente función generadora de momentos:

$$\mathbb{E}\left[\mathrm{exp}\left(uM(t)\right)\right] = \mathrm{exp}\left(\frac{1}{2} u^2t\right)$$

que es el MGF para la distribución normal con media cero y varianza $t$ . Por lo tanto, su $M(t)$ El proceso de Lévy sigue la misma distribución y acabas de demostrar que también un $M(t)$ proceso sigue la normalidad.

Si su proceso de recaudación no cumple las condiciones anteriores, pero sigue ajustándose a la definición general de proceso de recaudación que figura aquí:

http://almostsure.wordpress.com/2010/11/23/levy-processes/

puede utilizar las funciones características. Dado que la función característica de una circunvolución es el producto de las funciones características de las densidades implicadas, el teorema del límite central tiene otro replanteamiento: el producto de las funciones características de una serie de funciones de densidad se aproxima a la función característica de la densidad normal a medida que el número de funciones de densidad aumenta sin límite, en las condiciones indicadas anteriormente. Sin embargo, para decirlo con más precisión, es necesario aplicar un factor de escala adecuado al argumento de la función característica.

A continuación se muestra cómo pueden realizarse esos factores de escala y ajustes de deriva:

http://www.stats.ox.ac.uk/~winkel/lp1.pdf

Answer 3

Muy buena pregunta. En otras palabras, preguntas por qué no se cumple el teorema del límite central, ¿verdad? Una suma de iid debe ser de alguna manera normal, ¿verdad? Mirando la representación de Levy-Kinchin vemos la parte gaussiana, que proviene de los incrementos de un proceso continuo, y el resto de los saltos. Así que una respuesta (que no es matemáticamente rigurosa) es la presencia de saltos. Otra razón es que un proceso Levy puede tener infinitos momentos (también debido a los saltos).

Si el proceso es continuo, entonces es gaussiano (si y sólo si). Los saltos enriquecen el modelo, pero, por supuesto, lo complican mucho más.