¿Cópula de convolución?

Question

Utilizando la formulación de la cápula para la siguiente probabilidad:

$$ \mathbb {P}(X \leq x,y_{1} \leq Y \leq y_{2})= \mathbb {P}(X \leq x,Y \leq y_{2})- \mathbb {P}(X \leq x,Y \leq y_{1})$$ $$=C(F_{X}(x),F_{Y}(y_{2}))-C(F_{X}(x),F_{Y}(y_{1}))$$

No hay necesidad o requisito de que las dos cópulas de arriba sean iguales. ¿Existe un vínculo entre estas dos cópulas?

Leí en alguna parte que debería haber un vínculo del tipo de cópula de convección.

¿Alguien sabe si existe un vínculo o tal vez tiene algunas referencias de investigación sobre este tema?

Answer 1

¿No es cierto que su primera línea puede escribirse como $$ F_{X,Y}(x,y_2) - F_{X,Y}(x,y_1), $$ donde $F_{X,Y}$ es la fdc conjunta de $(X,Y)$ . Si suponemos que las distribuciones de $X$ y $Y$ son continuas sin átomos (tengo que comprobar la formulación exacta), entonces está claro por el teorema de Sklar que hay exactamente una cópula $C$ tal que $$F_{X,Y}(x,y) = C(F_X(x),F_Y(y)).$$ Así que la respuesta es: no las "dos" cópulas son sólo una.