Computación $\gamma$ y $\mu$ en la frontera eficiente

Question

Considerar la condición de que el peso de cualquier cartera que pertenecen a la frontera eficiente satisfacer:

\begin{ecuación} \gamma\boldsymbol{wC} = \boldsymbol{m} - \mu\boldsymbol{u}\end{ecuación}

Suponiendo que tenemos tres valores $\boldsymbol{w}= [w_1,w_2,w_3],m=[\mu_1,\mu_2,\mu_3],u =[1,1,1], \gamma =\dfrac{u_V-\mu}{\sigma^2_v}$.$\boldsymbol{C}$ es la matriz de covarianza,$\mu_V$ es el retorno esperado de esta cartera, $w_i$ es el peso y $\mu_i$ es el rendimiento esperado de seguridad $i$.

Lo que tengo que hacer es calcular los valores de $\gamma$ y $\mu$ tales que los pesos $\boldsymbol{w}$ satisfacer $\gamma\boldsymbol{wC} = \boldsymbol{m} - \mu\boldsymbol{u}$

Supongamos que tenemos todos los valores, excepto $\mu$ y $\gamma$ La manera de hacer esto,de acuerdo a mi libro, es el primer multiplicar esta condición(igualdad) por $\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{u}^T$ y, respectivamente, $\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{m}^t$ lo que obtendremos: \begin{ecuación}\mu_V(\boldsymbol{m} - \mu\boldsymbol{u})\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{u}^T = (\boldsymbol{m}-\mu \boldsymbol{u})\boldsymbol{C}^{-1}m^T \end{ecuación}

(desde $\boldsymbol{w}\boldsymbol{u}^{T}$ = 1 $\boldsymbol{w}\boldsymbol{m}^T = \mu_V$ , también si es de uso $\sigma^2_V = \boldsymbol{w}\boldsymbol{C}\boldsymbol{w}^T$ )

Sin embargo, yo no veo cómo obtener esta igualdad de la forma en que el libro describe:

$\gamma\boldsymbol{wC} (\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{u}^T)(\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{m}^T) = (\boldsymbol{m} - \mu\boldsymbol{u}) (\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{u}^T)(\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{m}^T)$

En el lado izquierdo puedo obtener $\gamma (\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{m}^T) $.De todos modos no veo cómo esto para llegar a la ecuación anterior(cómo el libro lo hizo).Podría alguien muéstrame cómo lo hicieron o lo Iam falta.

...El siguiente paso sería la de resolver por $\mu$ y este es el siguiente \begin{ecuación} \mu= \dfrac{\boldsymbol{m} \boldsymbol{C}^{-1}( \boldsymbol{m}^T \mu_V \boldsymbol{u}^T) }{\boldsymbol{u} \boldsymbol{C}^{-1}( \boldsymbol{m}^T \mu_V \boldsymbol{u}^T)} \end{ecuación}

Este se obtiene a partir de:

\begin{ecuación}\mu_V(\boldsymbol{m} - \mu\boldsymbol{u})\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{u}^T = (\boldsymbol{m}-\mu \boldsymbol{u})\boldsymbol{C}^{-1}m^T \end{ecuación}

Una vez más, no sé cómo lo hicieron. Podría alguien muestran los pasos con más detalle??

Answer 1

En primer lugar voy a trabajar con vectores columna porque me resulta más fácil que con los vectores fila como usted lo hizo. Supongo que es un poco más fácil si modificamos su primera ecuación un poco. Aviso que es realmente la condición de primer orden de las siguientes lagrange: $$L(w, \lambda \delta)= \frac{1}{2}{\bf w^TCw} - \lambda({\bf w^Tm} - \mu_v) - \delta({\bf w^Tu} - 1)$$ que se utiliza para minimizar la varianza de ${\bf w^TCw}$ s.t. para la cartera de tener una rentabilidad determinada (${\bf w^Tm}=\mu_v$) y de la cartera de pesos sumar a uno (${\bf w^Tu}=1$). El primer fin de la condición de w.r.t. cartera de pesos es: $${\bf Cw}=\lambda {\bf m} - \delta {\bf u}$$ que es exactamente su primera ecuación cuando $\lambda=1/\gamma$ y $\delta=\mu/\gamma$. Cada media-varianza eficiente de la cartera debe satisfacer esta relación. Ahora usted puede premultiply por ${\bf C^{-1}}$ de ambos lados para obtener

$${\bf (Eqn. 1)} \text{ }{\bf w}=\lambda {\bf C^{-1}m} + \delta {\bf C^{-1}u}$$

Finalmente te das cuenta de que sus restricciones fueron de ${ \bf u^Tw}=1$ y ${\bf m^T w}=\mu_v$ por lo tanto, si usted premultiply (Eqn. 1) una vez por ${\bf u^T}$ y una vez por ${ \bf m^T}$ obtendrá las siguientes dos ecuaciones:

$${\bf u^Tw}=\lambda {\bf u^TC^{-1}m} + \delta {\bf u^TC^{-1}u} = 1$$ $${\bf m^Tw} = \lambda {\bf m^TC^{-1}m} + \delta {\bf m^TC^{-1}u} = \mu_v$$

Aviso que $a={\bf u^TC^{-1}m}={\bf m^TC^{-1}u}$ , $b={\bf u^TC^{-1}u}$ y $c={\bf m^TC^{-1}m}$ son todos los escalares, por lo tanto usted puede encontrar $\lambda$ y $\delta$ (y por lo tanto su deseado $\gamma=1/\lambda$ y $\mu=\delta/\gamma$) como las soluciones del siguiente sistema lineal de dos incógnitas: $$a\lambda + b\delta = 1$$ $$c\lambda + a\delta = \mu_V$$

Bono:

Sólo para darle un poco de intuición: si usted normalizar el primer sumando del lado derecho de (Eqn. 1) por ${\bf u^TC^{-1}m}$ y el segundo sumando por ${\bf u^TC^{-1}u}$ tiene: $${\bf (Eqn. 2 ) } {\bf w}=\lambda {\bf u^TC^{-1}m} \frac{{\bf C^{-1}m}}{{\bf u^TC^{-1}m}} + \delta {\bf u^TC^{-1}u \frac{C^{-1}u}{u^TC^{-1}u}} =$$$$= k^* {\bf w^*} + k^{MV} {\bf w^{MV}} $$

donde $k^*=\lambda {\bf u^TC^{-1}m}$ y $k^{MV}=\delta {\bf u^TC^{-1}u}$ son dos escalares que se resumen en uno, que es de $k^*+k^{MV} = \lambda {\bf u^TC^{-1}m} + \delta {\bf u^TC^{-1}u} = {\bf u^T}(\lambda {\bf C^{-1}m} + \delta {\bf C^{-1}u}) = {\bf u^Tw} = 1$.

${\bf w^*=\frac{C^{-1}m}{u^TC^{-1}m}}$ y ${\bf w^{MV}\frac{C^{-1}u}{u^TC^{-1}u}}$ son dos carteras en la frontera; en particular, se puede demostrar que ${\bf w^{MV}}$ es la cartera con el mínimo global de la varianza. Desde aquí se puede ver que los dos fondos son suficientes para abarcar la totalidad de la frontera.

Answer 2

Lo que el libro en realidad quiso decir fue multiplicando ambos lados de la condición de la ecuación de $C^{-1}u^T$ en primer lugar, lo que le daría $(1)$ $\gamma=(m-\mu u)C^{-1}u^T$. A continuación, se multiplican ambos lados de la MISMA condición ORIGINAL por $C^{-1}m^T$, lo que le daría $(2)$ $\gamma\mu_V=(m-\mu u)C^{-1}m^T$. Ahora, usando $(1)$ y $(2)$ que $\mu_V(m-\mu u)C^{-1}u^T=(m-\mu u)C^{-1}m^T$. Después de que usted sólo tendrá que abrir las llaves, reorganizar el $\mu$ términos y obtener la solución para $\mu$. Recomiendo leer también esta parte de Zastawniak del "Matemáticas para Finanzas - Introducción a la Ingeniería Financiera" del libro, en el capítulo 5. Los autores han utilizado un enfoque de la maximización de allí, que es muy informativo.