Información de fondo:
Esta pregunta proviene del libro Financial Calculus de Baxter y Rennie. Empezamos por ver el marginal de $W_T$ en $\mathbb{Q}$ . Necesitamos encontrar la función de probabilidad de $W_T$ con respecto a $\mathbb{Q}$ o algo equivalente. Un truco útil es mirar las funciones generadoras de momentos:
Una variable aleatoria $X$ es una normal $N(\mu,\sigma^2)$ bajo una medida $\mathbb{P}$ si y sólo si $$E_{\mathbb{P}}(\exp(\theta X)) = \exp\left(\theta\mu + \frac{1}{2}\theta^2 \sigma^2\right)$$
Para calcular $E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta W_T)]$ podemos utilizar el hecho del resumen de la derivada de Radon-Nikodym, que nos dice que es igual a la $\mathbb{P}$ -expectativa $E_{\mathbb{P}}\left[\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\exp(\theta W_T)\right]$ . Esto equivale a
$$E_{\mathbb{P}}[\exp(-\gamma W_T - \frac{1}{2}\gamma^2 T + \theta W_T)] = \exp\left(-\frac{1}{2} \gamma^2 T + \frac{1}{2}(\theta - \gamma)^2 T\right)$$ porque $W_t$ es una normal $N(0<T)$ con respecto a $\mathbb{P}$ . Simplificando el álgebra, tenemos $$E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta W_T)] = \exp\left(-\theta \gamma T + \frac{1}{2}\theta^2 T\right)$$ que es la función generadora de momentos de una normal $N(-\gamma T, T)$ . Por lo tanto, la distribución marginal de $W_T$ , bajo $\mathbb{Q}$ también es una normal con varianza $T$ pero con la media $-\gamma T$ .
¿Qué pasa con $W_t$ para $t$ menos de $T$ ? La distribución marginal de $W_T$ es lo que esperaríamos si $W_t$ en $\mathbb{Q}$ Movimiento browniano más una deriva constante $-\gamma$ . Por supuesto, muchos otros procesos también tienen una normalidad marginal $N(-\gamma T, T)$ distribución en el momento $T$ pero sería un resultado elegante si el único efecto de cambiar de $\mathbb{P}$ a $\mathbb{Q}$ a través de $\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \exp\left(-\gamma W_T - \frac{1}{2} \gamma^2 T\right)$ eran sólo para perforar en una deriva de $-\gamma$ .
Y así es. El proceso $W_t$ es un movimiento browniano con respecto a $\mathbb{P}$ y el movimiento browniano con deriva constante $-\gamma$ en $\mathbb{Q}$ . Utilizando nuestros dos resultados sobre $\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ podemos demostrar las tres condiciones para $\tilde{W}_t = W_t + \gamma t$ para ser $\mathbb{Q}$ -Movimiento browniano:
i) $\tilde{W}_t$ es continua y $\tilde{W}_0$ = 0;
ii) $\tilde{W}_t$ es una normal $N(0,t)$ en $\mathbb{Q}$
iii) $\tilde{W}_{t+s} - \tilde{W}_2$ es una normal $N(0,t)$ independiente de $\mathcal{F}_s$
La primera de ellas es cierta y ii) y iii) pueden reexpresarse como
ii') $E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta \tilde{W}_t)] =\exp(\frac{1}{2}\theta^2 t)$
iii') $E_{\mathbb{Q}}[\exp(\theta(\tilde{W}_{t+s} - \tilde{W}_s))|\mathcal{F}_2] =\exp(\frac{1}{2}\theta^2 t)$
Pregunta:
Demuestre que ii') y iii') son equivalentes a ii) y iii) respectivamente, y demuéstrelo utilizando el proceso de azar de la medida $\varsigma_t = E_{\mathbb{P}}\left(\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}|\mathcal{F}_t\right)$ .
Ni siquiera estoy seguro de por dónde empezar, tal vez un comienzo de la solución o un poco de orientación sería útil, más o menos enseñando a mí mismo estas cosas así que disculpa la plétora de preguntas que pueda tener.
Intento de solución - Primero quiero demostrar que (ii) y (ii') son equivalentes. De (ii) tenemos que $\tilde{W_t}\sim N(0,t)$ en $\mathbb{Q}$ entonces la función generadora de momentos es $$M_x(t) = \exp{(\frac{1}{2}t^3)}$$ No veo cómo eso es equivalente a (ii')
