Apreciaré mucho si alguien puede proporcionar una prueba financiera lógica de por qué el modelo de valoración de opciones Black-Scholes sobreestima el valor de las opciones a largo plazo como se describe en este Documento "Warren Buffett, Black-Scholes and the Valuation of Long-dated Options" de Bradford Cornell .
En lugar de una prueba lógica, ¿aceptarías un poco de agitación de manos?
Piensa en estas dos constantes de Black-Scholes:
Piensa también en una opción a largo plazo, por ejemplo, una cuya fecha de vencimiento sea dentro de un año. Will $r$ y $\sigma$ ¿se mantendrá igual a lo largo del año? Probablemente no. Sin embargo, un tipo de interés constante y la volatilidad son dos supuestos. Eso es el origen del error de valoración.
---EDIT--- He aquí una parte destacada del argumento del hombre de paja de Buffet:
Teniendo en cuenta todo, creo que la probabilidad de que el índice disminuya índice a lo largo de un período de cien años es muy inferior al 1%. Pero Pero utilicemos esa cifra y asumamos también que el descenso más probable - en caso de que se produzca, es del 50%.
Aquí, creo, está el supuesto que hace que Buffet piense que la fijación de precios B-S produciría "resultados absurdos". Buffet ataca a los "frikis de las fórmulas" (es decir, a ti, querido lector de este hilo). ¿En qué se basa para criticar a Black-Scholes? Cornell lo explica.
Esto significa que Buffett tiene dos posibles reses [con el modelo de difusión lognormal de difusión de B-S]. En primer lugar, la prima de la equidad, y por lo tanto la deriva debería ser mayor. En segundo lugar, algo está mal con la volatilidad.
Cornell prescinde del primer cuerno del dilema: "Es poco probable que el culpable sea la deriva". Señala con el dedo la volatilidad:
El último candidato, aparte del argumento del arbitraje en el que se basa el modelo, es la volatilidad. Si el Sr. Buffett está criticando el uso de la hipótesis de difusión lognormal al fijar el precio de las opciones a largo plazo, no es el único. opciones a largo plazo, no es el único. Recordemos que la hipótesis lognormal implica que la volatilidad aumenta linealmente con respecto al horizonte en el que se mide que se mide, como se muestra en la ecuación (1) [distribución lognormal de B-S]. Hay pruebas empíricas evidencia empírica que indica que el supuesto de linealidad no se cumple en horizontes largos. Por ejemplo, Siegel (2008) informa de que la varianza de los rendimientos reales del S&P 500 históricamente no han aumentado linealmente con el horizonte. Si la volatilidad a largo plazo es menor, el valor de las opciones de venta a largo plazo será menor. Por ejemplo, una volatilidad del 15%, en lugar del 18%, reduce el valor estimado de la posición de venta hipotética del Sr. Buffett a 1,5 millones de dólares. También reduce la probabilidad de que el índice sea más bajo al vencimiento que al iniciación.
(énfasis mío)
En resumen, Cornell cita a Siegel para decir que la razón por la que Buffet obtiene "resultados absurdos" es porque su estimación de la volatilidad es demasiado alta para el largo plazo.
Gracias por su respuesta. La pregunta no es cuál es la razón de la mala valoración, la pregunta es cuál es la razón de la sobreestimación.
En opinión de Buffet, muy Las opciones a largo plazo (su ejemplo era de 100 años) están sobrevaloradas por el modelo B-S. Tiene que recordar que B-S se basa en precios log-normales, es decir, la relación entre el precio actual y un precio futuro. Los precios del índice no pueden bajar por debajo de 0, pero pueden bajar hasta una pequeña fracción de un céntimo. Si tuviera que hablar con el Oráculo de Omaha sobre este tema, le preguntaría: ¿Quién tomará el otro lado de su opción de 1.000 millones de dólares con 100 años hasta el vencimiento y un strike de 930?
O aquí hay otra veta que podría dejar al OP. Construir un árbol binomial de 100 pasos, y suponer que el índice sube o baja por sigma cada año. Empieza en 930. ¿Qué valor tendrá la put en el año 100? En muchos casos será 0, pero en el resto será > 0 pero <= 930. (Por cierto, pongo esto en DerivaGem, S=930, K=930, r=1%, q=2%, vol=25%, T=100. Para los dividendos continuos, las puts a 100 años deberían costar 300,32 dólares cada una).
El BS es una construcción puramente matemática, que no se basa en fundamentos económicos. Para que el SPX caiga a cero o cerca de él se necesitaría una probabilidad menor que la estipulada por BS (un evento de extinción podría hacerlo, en cuyo caso ambas partes fracasarían, así como todos los humanos, por lo que no importaría de todos modos), de ahí que BS esté sobreestimando la probabilidad. Establecer una hipotética barrera reflectante en, digamos, p=300 (el SPX está en 2050 ahora) y luego llevar el tiempo a 100 años cuando se valora la opción puede tener grandes ramificaciones. Esto también puede explicar por qué la venta de opciones cubiertas de venta en efectivo tiende a ser una estrategia superior
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¿Sobrevaloración o error de cálculo? ¿Puede proporcionar la fuente donde vio esa afirmación?
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hss.caltech.edu/~bcornell/PUBLICATIONS/ esta es la investigación empresarial.