Estoy leyendo el libro de LS "Teoría de la macroeconomía recursiva".
En este libro, así como en algunos apuntes de clase en línea en Internet. A menudo denotan, por ejemplo, $\pi_t(s^t)$ para la probabilidad de que la historia $s^t$ ocurre en el momento $t$ .
Pero me pregunto, si estamos mencionando $s^t$ implica que el tiempo es $t$ . Así que, ¿por qué no lo simplificamos escribiendo $\pi(s^t)$ ¿en su lugar?
¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!
Tienes razón, es lo mismo. En realidad, más adelante en el libro la densidad sobre la historia $s^t = [s_t, s_{t-1}, \cdots, s_0]$ se escribe como
$$ \pi(s^t) = \pi(s_t|s_{t-1}) \cdots \pi (s_1|s_0)\pi(s_0) \tag{2.3.1} $$
donde $\pi(s_0)$ denota la probabilidad del estado inicial (o $\pi_0(s_0)$ si lo desea), y $\pi(s|s')$ es una probabilidad de transición.
Obsérvese que la Ec. (2.3.1) encierra la probabilidad de obtener una historia determinada en un proceso de Markov, ya que ${\rm Prob}(s_t|s_{t-1}, s_{t-2}\cdots,s_0) = {\rm Prob}(s_t|s_{t-1}) = \pi(s_t|s_{t-1})$ . Esto sólo para demostrar que $\pi_t(s^t)\color{blue}{\equiv}\pi(s^t)$
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