única medida de martingala equivalente en mercados incompletos

Question

¿Tienes alguna idea de cómo podemos demostrar, y bajo qué condiciones, que una medida de martingala equivalente (EMM) en un mercado incompleto es única? Los supuestos que hemos hecho son:

1) que el proceso estocástico St del activo sea una semimartingala (continua) y

2) que este EMM existe.

En otras palabras, que la medida óptima de la varianza es única.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que existen múltiples medidas de martingala $Q_1$ y $Q_2$ que alcanzan la mínima varianza. Entonces la combinación convexa $Q_* := \frac{1}{2}Q_1 + \frac{1}{2}Q_2$ es también una medida de martingala. Debido a la convexidad estricta de $f(x) = x^2$ se puede demostrar que $$ E_P \left[\frac{dQ_*}{dP}^2 \right] < \frac{1}{2} E_P \left[ \frac{dQ_1}{dP}^2 \right] + \frac{1}{2} E_P \left[ \frac{dQ_2}{dP}^2 \right]. $$

Para que esto sea completamente hermético, hay que utilizar la noción de convexidad uniforme, es decir $f \left(\frac{x+y}{2} \right) < \frac{1}{2} \left( f(x) + f(y) \right) -\epsilon | x - y|$ para algunos $\epsilon$ . Los detalles son tediosos pero no difíciles.

En cualquier caso, tienes una contradicción, y el minimizador debe ser único.