Creando una posición de doblar y reducir a la mitad

Question

Quiero crear una posición que o bien se multiplique con $1+u$ (resultado $U$ ) o $1-d$ (resultado $D$ ). La probabilidad de $U$ se denota por $P(U) = \pi $ . El valor inicial de la posición es $V_0$ . Dado el resultado $U$ el valor de la posición es $V_U = (1+u)V_0$ y dado el resultado $D$ es $V_D = (1-d)V_0$ .

Más específicamente, estoy tratando de crear una posición de duplicar o reducir a la mitad con más o menos la misma probabilidad de $U$ y $D$ que se producen, es decir $ \pi \approx 0.50$ . Estaba pensando en usar opciones binarias que pagan 1 cuando $U$ es el resultado. También pensaba que el puesto podría crearse usando binarios y guardando dinero en efectivo. Así que, $V_U = 2V_0 = \frac {V_0}{2} + N*P_U = \frac {V_0}{2} + N, P_U = 1$ donde $N$ es el número de opciones en la posición y $P_U$ es la opción de pago en el éxito. $V_D = \frac {1}{2}V_0 = V_0 - NP_0$ donde $P_0$ es el precio inicial de la opción binaria. Quiero encontrar $N$ y $P_0$ de tal manera que el valor se duplica en caso de éxito y se reduce a la mitad en caso de no éxito.

Encontramos que $N = \frac {3}{2}V_0$ y que $P_0 = 1/3$ . Sin embargo, esto rompe la $ \pi $ condición. Si estoy comprando opciones binarias diarias sobre si el S&P 500 cierra por encima de su último cierre, uno asumiría que la opción binaria tendría un precio cercano a $0.50$ al comienzo del día.

¿Cómo debo construir esta cartera?

Answer 1

En primer lugar, no olvide que hay dos medidas de probabilidad diferentes en juego: la medida frecuentista del mercado, que refleja la observación real del mercado "a largo plazo", y la medida de martingala neutral del mercado, que es pertinente para la fijación de precios de las opciones. Más o menos, podemos tomar la medida frecuentista y "eliminar" los efectos de la beta del mercado para llegar a una medida martingala que evite contar una posición como un arbitraje sólo porque está larga en el mercado y participa en la tendencia natural del mercado a subir con el tiempo.

Ahora, en cuanto a la creación de una posición de duplicación y reducción a la mitad, es en realidad El criterio de Kelly ---con las probabilidades declaradas (disponibles para apostar) en una medida de martingala neutra para el mercado, pero las verdaderas probabilidades en una medida de mercado frecuentista--- que determina la fracción óptima de $V_0$ para apostar en la opción binaria cada día, y si realmente quiere doblar o reducir a la mitad, o si alguna otra fracción es más apropiada.

Además, recuerde que al principio del día, en la mayoría de los casos, han transcurrido al menos 17,5 horas desde el último cierre, el mercado, con toda probabilidad, ya ha tenido un gap significativo al alza o a la baja, y sólo quedan 6,5 horas hasta el cierre. El tiempo que quede en el día, es el arbitraje que hay que aprovechar, pero si la opción está en el dinero o cerca de él, todavía hay tiempo para aprovecharlo al máximo. En este caso, sin embargo, parece que el arbitraje consiste simplemente en estar largo en el mercado, al menos en una teoría elemental de que los mercados son eficientes.

Pero, de nuevo, soy un escéptico de los "quant", y creo que los mercados son generalmente más eficientes de lo que la gente les da crédito.