Ajuste de un modelo lineal a los mayores momentos de CAPM

Question

¿Cómo se puede ajustar un modelo lineal para los momentos de orden superior de CAPM en R? El ajuste de un modelo lineal para el segundo momento (clásica CAPM) serían lm(stock~market, data=example) $$R_{i,t} - R_{f,t} = \alpha_i + \beta_i(R_{M,t}-R_{f,t}) + \epsilon_t \etiqueta{2a}$$

Pero, ¿cómo sería un ajuste de un modelo lineal de tercer y cuarto momento de CAPM?

$$R_{i,t}-R_{f,t} = \alpha_i + \beta_i(R_{m,t}-R_{f,t})+\gamma_i(R_{m,t}-R_{f,t})^2 \etiqueta{3a}$$ $$R_{i,t}-R_{f,t} = \alpha_i + \beta_i(R_{m,t}-R_{f,t})+\gamma_i(R_{m,t}-R_{f,t})^2+\delta_i(R_{m,t}-R_{f,t})^3 \etiqueta{4a}$$

Donde $\beta_i$ es sistemática de la varianza, $\gamma_i$ es sistemática la asimetría y $\delta_i$ es sistemática de la curtosis calculado de la siguiente forma $\beta_i = Cov(R_i,R_m)/E[(R_m-E(R_m))^2] =Cov(R_i,R_m)/Var(R_m)$ ,$\gamma_i = Cov(R_i,R_m^2)/E[(R_m-E(R_m))^3]$, $\delta_i = Cov(R_i,R_m^3)/E[(R_m-E(R_m))^4]$

He tratado de encontrarle la cuadratura al mercado de los rendimientos en exceso y el ajuste de un modelo lineal de la siguiente manera

market2 <- market^2
lm(stock~market+market2, data=example)
market3 <- market^3
lm(stock~market+market2+market3, data=example)

Esto podría ser correcto, pero lo dudo, es difícil de comprobar. Alguna idea sobre esto?

Answer 1

El R código es correcto. También se podría utilizar el I() operador. Usted puede mirar aquí en la página 53. A continuación, el código sería

lm(stock~market+I(market^2)+I(market^3), data=example)

EDIT: va más en detalle:

Hacer lo anterior puede definir regresores $mercado^2$ y $de mercado^3$. Los coeficientes se calcularán de la forma usual (covarianza de respuesta con los regresores sobre la varianza de los regresores .. en la matriz de sentido si es necesario).

En el caso univariante de obtener $$ R_i = \beta R_M^2 + \epsilon $$ con $$ \beta = cov(R_i,R_M^2)/var(R_M^2). $$ Conectar definiciones podemos llegar $$ \beta = E[(R_i-E[R_i])(R_M^2-E[R_M^2])]/E[(R_M^2-E[R_M^2])^2]. $$ Tenga en cuenta que el plazo $E[R_M^2]$ será de cerca de $VAR(R_M)$. Así, los términos que aparecen están relacionados con lo que usted escribe, pero utilizando las definiciones vemos que son diferentes. Sus definiciones de aspecto similar a los conceptos de co-asimetría y cokurtosis - pero cuidado con las inspecciones de nuevo para mostrar que son diferentes.