optimización estática/dinámica

Question

El interesante documento Calvo y Obstfeld (1988) utiliza la optimización en dos etapas en un modelo OLG que luego se reduce a un marco estándar de agente representativo.

La optimización de la primera etapa consiste en una optimización estática que realiza la asignación óptima entre diferentes cohortes de forma vertical (véase la ecuación (9) del documento). Los autores resuelven este problema de primera etapa como

$$\mathcal{L}=u\left[c\left(t-n,t\right)\right]\Delta\left(n\right)P\left(n\right)e^{\rho n}+\lambda\left[C\left(t\right)-\int_{0}^{\infty}c\left(t-n,t\right)P\left(n\right)d\left(n\right)\right]$$

donde $C\left(t\right)=\int_{0}^{\infty}c\left(t-n,t\right)P\left(n\right)dn$ .

$n, P(n), \Delta\left(n\right)$ se dan en el documento y no son relevantes para mi pregunta en este momento.

Normalmente, en este documento, la dinámica de la acumulación de capital se da de la siguiente manera:

$$\dot{K}\left(t\right)=Y\left[K\left(t\right)\right]-C\left(t\right)$$

De hecho, mi pregunta es trivial pero no podía estar seguro.

¿Es la parte con corchete en Lagrangian proviene de $\dot{K}=0$ lo que nos da la igualdad $Y\left[K\left(t\right)\right]=C\left(t\right)=\int_{0}^{\infty}c\left(t-n,t\right)P\left(n\right)dn$ ?

Como el Lagrangiano es para un problema "estático", creo que tiene sentido, pero no puedo estar seguro de que sea así.

Cualquier sugerencia o pista será bienvenida.

Answer 1

Es una coincidencia, porque suponen capital no depreciable. Si $\delta>0$ estaba seguro de que tendríamos \begin{align} \dot K = Y - C - \delta K \end{align} que da \begin{align} \dot K = 0 \quad \Rightarrow\quad C = Y - \delta K. \end{align}

Pero la optimización estática seguiría siendo \begin{align} &U(C(t)):=\max_{c(t-n,n)}\int^\infty_0 u(c(t-n,n))dn \\ &s.t.\quad \int^\infty_0 u(c(t-n,n))dn \leq C(t) \end{align} En realidad, definen una función de utilidad indirecta con sujeción a una restricción de recursos. En cada periodo (por tanto, estático) la suma del consumo individual no puede superar el consumo agregado.