Actualmente estoy leyendo notas de conferencias que tienen como objetivo mostrar que si $$ S_t = S_0 \exp (\mu t + \sigma W_t) $$ luego, bajo la medida de probabilidad $\tilde{\mathbb{P}}$ con la densidad de $$ \gamma_T = \exp (c W_T - \frac{c^2}{2}) $$ $e^{-rt} S_t$ ($0 \leq t \leq T$) es una martingala bajo $\tilde{\mathbb{P}}$ si $$ c = - \frac{\mu - r - \frac{\sigma^2}{2}}{\sigma} $$
Para probar esto, se empieza por afirmar que
$$ d \left( e^{-rt} S_t \derecho) = S_t \left[ (\mu + \sigma c - r + \frac{\sigma^2}{2}) dt + \sigma d \tilde{W}_t \derecho] $$
Aquí es donde mi surge la confusión, ya que he intentado usar Ito fórmula para deducir el por encima de diferencial, pero en lugar de ello han llegado al siguiente resultado: $$ d \left( e^{-rt} S_t \derecho) = S_t e^{-rt} \cdot \left[ (\mu + \sigma c - r + \frac{\sigma^2}{2}) dt + \sigma d \tilde{W}_t \derecho] $$ (Puedo agregar mi explícitas de funcionamiento para este si es necesario).
Alguien me puede ayudar a entender cómo se han derivado de sus diferenciales estocásticas?
También, ¿cuál sería la definición de una martingala en este contexto específico? Mi comprensión de una martingala actualmente se sitúa como un proceso estocástico $X$ de los cuales $\mathbb{E} [X_{t+\delta} | \mathcal{F}_t] = X_t$. Lo pregunto porque llegan a la conclusión de la prueba diciendo
... Por lo tanto, desde $d \left( e^{-rt} S_t \derecho) = S_t \sigma d \tilde{W}_t$, podemos deducir que $e^{-rt} S_t$ es una martingala bajo la implícita medida $\tilde{\mathbb{P}}$.
Y no veo cómo esta conclusión demuestra el resultado deseado.
