Me gustaría que me ayuden a entender la definición de la obediencia en un juego de información incompleta en p.7 de este documento.
Permítanme resumir la definición proporcionada en el documento.
Hay $N\in \mathbb{N}$ jugadores, con $i$ denota un genérico jugador.
Hay un conjunto finito de estados $\Theta$, con $\theta$ denota un estado genérico.
Un juego básico $G$ se compone de
para cada jugador i $$, un conjunto finito de acciones $A_i$, donde escribimos $A\equiv A_1\times A_2\times ... \times A_N$, y una función de utilidad de $u_i: A\times \Theta \rightarrow \mathbb{R}$.
un soporte completo antes de $\psi\en \Delta(\Theta)$.
Una estructura de información $S$ se compone de
para cada jugador i $$, un conjunto finito de señales de $T_i$, donde escribimos $T\equiv T_1\times T_2\times ... \times T_N$.
una distribución de señales de $\pi: \Theta \rightarrow \Delta(T)$.
Una regla de decisión de la incompleta información de juego de $(G,S)$ es una asignación $$ \sigma: T\times \Theta\rightarrow \Delta(A) $$
Una forma mecánica de comprender la noción de la regla de decisión es vista $\sigma$ como la estrategia de un omnisciente mediador que primero se observa la realización $\theta\en \Theta$ elegidos en función $\psi$ y la realización $t\T$ elegidos en función $\pi\cdot|\theta)$; y, a continuación, elige una distribución de probabilidad a partir de $\Delta(Una)$, y privadas, y anuncia a cada jugador $i$, su lotería para jugar.
Para que los jugadores tengan un incentivo para seguir la recomendación del mediador en este escenario, tendría que ser el caso que el recomendado de la lotería fue siempre preferida a cualquier otra lotería condicional sobre la señal de $t_i$ que el jugador i $$ que había recibido.
Esto se refleja en el siguiente "obediencia" condición.
Definición: La regla de decisión $\sigma$ es obediente por $(G,S)$ si, por cada $i=1,...,N$, $t_i\en T_i$, y $a_i\en A_i$, tenemos $$ \sum_{a_{-i}, t_{-i}, \theta} \psi(\theta) \pi(t_i,t_{-i}| \theta) \sigma(a_i, a_{-i}|t_i, t_{-i}, \theta) u_i(a_i, a_{-i},\theta) $$ $$ \geq \sum_{a_{-i}, t_{-i}, \theta} \psi(\theta) \pi(t_i,t_{-i}| \theta) \sigma(a_i, a_{-i}|t_i, t_{-i}, \theta) u_i(\tilde{a}_i, a_{-i},\theta) $$ $\forall \tilde{a}_i\en A_i$.
Mi pregunta:
No entiendo completamente el LHS (o, equivalentemente, la RHS) la expresión $$\sum_{a_{-i}, t_{-i}, \theta} \psi(\theta) \pi(t_i,t_{-i}| \theta) \sigma(a_i, a_{-i}|t_i, t_{-i}, \theta) u_i(a_i, a_{-i},\theta)$$
Decirlo en palabras, esto es la suma de más de $A_{-i}, T_{-i}, \Theta$de $$ \text{[Prob de que el mediador observa $(\theta, t)$]}\times\\ \text{[Prob de que el mediador sugiere que los jugadores jueguen $a$ en $\sigma$, dado que se observa $(\theta, t)$]}\times\\ \text{[Lucro que jugador $i$ pone de obedecer el mediador, dado que los otros jugadores obedecer también]} $$
Deje que el producto se encuentra escrito se denota por $(\estrella)$.
¿Por qué en el segundo componente de $(\estrella)$ nosotros NO condición en $a_i$ por tomar
$$
\text{[Prob de que el mediador sugiere a los otros jugadores para jugar $a_{-i}$ en $\sigma$, dado que se observa $(\theta, t)$ y dado que él sugiere jugador $i$ a jugar $a_i$]}
$$
en lugar de
$$
\text{[Prob de que el mediador sugiere que los jugadores jueguen $a$ en $\sigma$, dado que se observa $(\theta, t)$]}
$$
